Pb I. Nombres complexes

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MPSI B Année 2019-2020. DS 1 le 04/10/19 24 avril 2020

Pb I. Nombres complexes

Dans tout le problème¹, on se place dans un planPmuni d'un repère orthonormé direct (O,−→

i ,−→

j) et on convient de désigner les points avec des capitales et les axes avec des minuscules. Par exemple, l'axe d'un point M sera le complexe m, le représentant d'un nombre complexezsera le pointZ.

SoitAetB deux points distincts.

Rappelons la dénition d'une symétrie par rapport à une droite. Les pointsM et M⁰ sont dits symétriques par rapport à la droite(AB)si et seulement si :

le milieu deM etM⁰ appartient à(AB)et−−−→

M M⁰ est orthogonal à−−→ AB.

A

M

^′

B

M

Fig. 1: Points symetriques par rapport à(AB)

Rappelons aussi la dénition de la médiatrice d'un segment. L'ensemble des points à égale distance deAet de B est une droite appelée médiatrice deAB.

Partie I. Expression complexe d'une symétrie

SoitAetB deux points distincts d'axes complexesaetb aveca6=b.

1. a. Donner la dénition du nombre complexej et ses premières propriétés, calculer j²−j

j²−j.

b. Soituun nombre complexe non nul. Montrer que les points d'axes u,ju, j²u forment un triangle équilatéral.

2. SoitM etM⁰ (d'axesmet m⁰) deux points symétriques par rapport à(AB).

1d'après concours général 2005

a. Montrer qu'il existeλ∈Rtel que

m⁰+m= 2a+ 2(b−a)λ.

b. Montrer qu'il existeµ∈Rtel que

m⁰−m=µi(b−a).

c. En déduire

m⁰−a b−a =

m−a b−a

.

3. Soitw1 etw2 complexes. On dénit la fonctionsdeCdansCpar :

∀z∈C, s(z) =w1z+w2.

a. En utilisant les formules de Cramer, calculerw1etw2tels ques(a) =aets(b) =b. b. Pourz ∈C, on notez⁰=s(z)et Z, Z⁰ les points d'axe z etz⁰. Vérier que Z

etZ⁰ sont symétriques par rapport à(AB).

O

A B

C

M

M1

M2

M3

M4

Fig. 2: PointsM,M₁,M₂,M₃,M₄

Partie II

On considère les pointsO,A, B,Crespectivement d'axes0,1,j,j². SoitM un point d'axem6= 0. On noteρ=|m|etθ un argument dem.

SoitM1,M2,M3,M4les points symétriques deM respectivement par rapport aux droites (OA),(OB),(OC)et(BC).

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S1901E

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O A

B

C M

M2

M3

M4

Fig. 3: Alignement deM2,M3, M4

1. Calculerm1,m2,m3,m4en fonction dem. Montrer queM1,M2,M3 est équilatéral.

2. Montrer queM₂,M₃,M₄sont alignés si et seulement si M est sur un certain cercle à préciser. Vérier que, dans ce cas, le point A est aussi sur la droite qui contientM₂, M3,M4.

3. SiM₂, M₃, M₄ ne sont pas alignés, il existe un cercle (appelé cercle circonscrit) qui contient ces trois points. On noteΩ(d'axeω) le centre de ce cercle etR son rayon.

On pourra utiliser que le pointΩest l'intersection des médiatrices des segmentsM₂M₃, M2M4,M3M4.

a. Montrer que O et M₁ appartiennent à la médiatrice deM₂M₃. En déduire qu'il existeλréel tel queω=λe^−iθ.

b. En utilisant le fait queΩappartient à la médiatrice deM₂M₃, montrer que

ω=−1 + 2ρcosθ ρ+ 2 cosθ e^−iθ. c. Montrer que

R²=ρ²+(1−ρ²)(1 + 2ρcosθ) (ρ+ 2 cosθ)² .

4. Préciser géométriquement l'ensembleΓdes pointsM tels que les cercles circonscrits à M₁,M₂, M₃ et àM₂,M₃,M₄aient les mêmes rayons.

Reproduire approximativement, compléter et interpréter les gures4 et5des congu- rations 1 et 2.

Fig. 4: Conguration 1

Fig. 5: Conguration 2

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Ex II. Sommations

On veut exprimer une suite(a_k)_k∈

N de nombres entiers telle que :

∀n∈N: n! =

n

X

k=0

n k

a_k.

On convient que0! = 1.

1. Calculera0, a1, a2, a3, a4et justier l'existence de cette suite d'entiers.

2. Soitketnentiers naturels tels quek < n, soitz∈C, montrer que X

m∈Jk,nK

m k

n m

z^m=

n k

(1 +z)^n−kz^k.

On pourra exprimer ^m_k n m

uniquement avec des factorielles et les réorganiser.

3. Soitnun entier naturel non nul etT l'ensemble des couples(m, k)d'entiers naturels tels que0≤k≤m≤n. Des nombres réelst_m,k sont donnés pour tous les(m, k)∈ T. Préciser les intervalles d'entiers auxquels doivent appartenirketmdans les expressions

X

(m,k)∈T

t_m,k= X

m∈?

X

k∈?

t_m,k

!

= X

k∈?

X

m∈?

t_m,k

! .

4. Montrer que

(−1)ⁿan= X

m∈J0,nK

m!

n m

(−1)^m.

Ex III. Systèmes linéaires

Dans cet exercice,a,b,cappartiennent à C\ {0,−1,1} et sont deux à deux distincts.

1. Question de cours.

SoitA,B,C,D,λ,µdes nombres complexes. On considère le système d'équation aux inconnuesuetv

(Au+Bv=λ Cu+Dv=µ

Quand dit-on que ce système est de Cramer ? Dans ce cas donner l'unique couple solution exprimé avec les formules de Cramer.

2. On considère le systèmeS0aux inconnuesuetv.

S0:









 1

abu+ 2

(a+ 1)(b+ 1)v= 1 1

acu+ 2

(a+ 1)(c+ 1)v= 1

Montrer que ce système est de Cramer et calculer son unique couple solution.

3. Résoudre le système aux inconnuesx,y,z

S:









 x a−1 +y

a+ z a+ 1 = 1 x

b−1+y b + z

b+ 1 = 1 x

c−1+y c + z

c+ 1 = 1