I. Nombres complexes

MPSI B Année 2019-2020. Corrigé DS 0 (2h) le 20/09/19 21 septembre 2019

I. Nombres complexes

1. Soitw∈C. On notex= Re(w)ety= Im(w). On peut écrire e^iw=e^i(x+iy)=e^ix−y=e^−y

|{z}

>0

e^ix.

On en déduit quexest un argument dee^iw et que e^iw

=e^−y. 2. a. Les deux exponentielles sont inverses l'une de l'autre :

e^iz+e^−iz−2 = e^iz22

+ e^−iz22

−2 e^iz2 e^−iz2

= e^iz2 −e^−iz22 b. Pour calculer D on commence par faire apparaitre un carré sous le module avec

la question précédente avant de développer le carré du module d'une diérence ou d'une somme selon la formule du cours.

D=1 2

e^iz2 −e^−iz2

2 = 1 2

|e^iz|+|e^−iz| −2 Re(e^iz2e^−iz2) .

Utilisons les parties réelles et imaginaires.

e^iz =e^ib−a =e^−ae^ib⇒ |e^iz|=e^−a. De même,|e^−iz|=e^a. De plus

e^iz2e^−iz2 =e^iz2e^iz2 =e^{ia2−b2+ia2+2b} =e^ia⇒Re(e^iz2e^−iz2) = cosa.

On en déduit

D= e^b+e^−b

2 −cosa.

Le calcul est analogue pour la somme et conduit à

S= e^b+e^−b

2 + cosa.

En les sommant, on obtient nalement

D+S=e^b+e^−b.

II. Sommations

1. Calcul deF. On remarque que(k+ 1)!−k! =k k!et que l'on peut faire commencer la somme àk = 1car la contribution de k = 0est nulle. On en déduit, par sommation télescopique,

F = (2!−1!) + (3!−2!) +· · ·+ ((n+ 1)!−n!) = (n+ 1)!−1.

Calcul deB. Introduisons la fonction polynomiale f(x) = (1 +x)ⁿ=

n

X

k=0

n k

x^k.

et sa primitive nulle en0: F(x) = 1

n+ 1 (1 +x)ⁿ⁺¹−1

=

n

X

k=0

1 k+ 1

n k

x^k+1.

On a alors

B=F(1) =2ⁿ⁺¹−1 n+ 1 . 2. a. Pour tout entiern, on noteIn l'inégalité à démontrer.

Si n= 1 : Pn = ¹₂ et ^√_2n+1¹ = ^√1

3. Comme ¹₄ < ¹₃, on a bien Pn < ^√_2n+1¹ dans ce cas.

On veut maintenant montrer que, pour tout entiern, In ⇒ In+1. On peut re- trouver dansPn+1 les facteurs constituantPn.

Pn+1=Pn

2n+ 1

2(n+ 1)< 1

√2n+ 1

2n+ 1 2(n+ 1)

| {z }

d'aprèsIn

=

√2n+ 1 2(n+ 1).

Pour montrer queIn⇒ In+1, il sut donc de vérier que

√2n+ 1

2(n+ 1) ≤ 1

√2n+ 3. Or cette inégalité est équivalente à

√

2n+ 1√

2n+ 3≤2(n+ 1) et celle ci est une conséquence de

(2(n+ 1))²−(2n+ 1)(2n+ 3) = 3n−1≥0pourn≥1.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S1900C

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b. Le numérateur de Pn est le produit des impairs consécutifs alors que le déno- minateur est le produit des pairs. Avec la remarque de l'énoncé, tous les entiers gurent au numérateur alors qu'au dénominateur, seuls les pairs gurent et ils y sont deux fois. Dans le produit des pairs, en mettant les2en facteur, on retrouve une factorielle. On en tire :

Pn= (2n)!

(2ⁿn!)² = (2n)!

2²ⁿ(n!)² et Pn= 2⁻²ⁿ 2n

n

.

c. Formons le quotient des deux coecients avec0≤k < n:

2n k+1

2n k

=(2n)(2n−1)· · ·(2n−k) (k+ 1)!

k!

(2n)(2n−1)· · ·(2n−k+ 1) =2n−k k+ 1 .

avec ^2n−k_k+1 <1 car2n−k−k−1 = 2(n−k)−1>0. On en déduit que la suite des ²ⁿ_k

est strictement croissante de 0 à n. D'après la formule _2n−k²ⁿ

= ²ⁿ_k

, les mêmes valeurs se retrouvent au delà dendonc ²ⁿ_n est le plus grand des coecients ²ⁿ_kpour kentre0et 2n.

La partie droite de l'encadrement à prouver résulte de l'inégalité de a. et de l'expression de b.

La partie gauche résulte d'une formule du binôme majorée simplement : 2²ⁿ= (1 + 1)²ⁿ =

2n

X

k=0

2n k

≤ (2n+ 1)

| {z }

nb de termes

×

2n n

| {z }

le plus gd des termes

.

III. Équations

1. Comme1n'est pas solution de l'équation(1)et que

(z−1)(1 +z+z²+z³+z⁴) =z⁵−1.

L'ensemble des solutions de(1)est U⁵\ {1}.

L'équation(2)est du second degré, de discriminant 5, ses solutions sont 1

2

−1−√ 5

, 1

2

−1 +√ 5

.

2. Soituun nombre complexe non nul, alors :

u+1

u solution de(2) ⇔u²+ 2 + 1

u² +u+1

u−1 = 0

⇔u⁴+u²+ 1 +u³+u= 0(en multipliant paru²6= 0)⇔usolution de (1). 3. D'après le cours sur les racines de l'unité, les solutions de(1)s'écrivent aussi

ω=e^2iπ5 , ω²=e^4iπ5 , ω³=ω⁻²=ω², ω⁴=ω⁻¹=ω.

Elles sont conjuguées deux par deux. Donc, lorsqueudécrit cet ensemble,u+_u¹ prend seulement deux valeurs :

2 cos2π

5 2 cos4π 5 .

4. D'après les questions précédentes,2 cos^2π₅ est solution de(2)donc

2 cos2π 5 = 1

2

−1−√ 5

ou 2 cos2π 5 = 1

2

−1 +√ 5

. Or,0< ^2π₅ <^π₂ donc les propriétés decosentraînent que

cos2π 5 = 1

4

−1 +√ 5

.

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