MPSI B 29 septembre 2019

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Énoncé

1. Calculer les sommes suivantes F =

n

X

k=0

k(k!), B =

n

X

k=0

1 k + 1

n k

.

2. Pour tout entier n ≥ 1 , on note

P n =

n

Y

k=1

2k − 1 2k .

a. Montrer par récurrence que

P _n < 1

√ 2n + 1 .

b. En remarquant que

P _n =

n

Y

k=1

2k − 1 2k × (2k)

(2k) ,

exprimer P n uniquement avec des factorielles et une puissance de 2 . En déduire une expression de P n faisant intervenir un coecient du binôme.

c. Soit k entier tel que 0 ≤ k < n . Montrer que ²ⁿ _k

< _k+1 ²ⁿ

. Que peut-on en déduire pour ²ⁿ _n ? Montrer que

2 ²ⁿ 2n + 1 ≤

2n n

≤ 2 ²ⁿ

√ 2n + 1 .

Corrigé

1. Calcul de F . On remarque que (k + 1)! − k! = k k! et que l'on peut faire commencer la somme à k = 1 car la contribution de k = 0 est nulle. On en déduit, par sommation télescopique,

F = (2! − 1!) + (3! − 2!) + · · · + ((n + 1)! − n!) = (n + 1)! − 1.

Calcul de B . Introduisons la fonction polynomiale f (x) = (1 + x) ⁿ =

n

X

k=0

n k

x ^k .

et sa primitive nulle en 0 : F(x) = 1

n + 1 (1 + x) ⁿ⁺¹ − 1

=

n

X

k=0

1 k + 1

n k

x ^k+1 .

On a alors

B = F (1) = 2 ⁿ⁺¹ − 1 n + 1 . 2. a. Pour tout entier n , on note I n l'inégalité à démontrer.

Si n = 1 : P _n = ¹ ₂ et ^√ _2n+1 ¹ = ^{√ 1}

3 . Comme ¹ ₄ < ¹ ₃ , on a bien P _n < ^{√ 1}

2n+1 dans ce cas.

On veut maintenant montrer que, pour tout entier n , I _n ⇒ I _n+1 . On peut re- trouver dans P n+1 les facteurs constituant P n .

P n+1 = P n

2n + 1

2(n + 1) < 1

√ 2n + 1

| {z }

d'après I

n

2n + 1 2(n + 1) =

√ 2n + 1 2(n + 1) .

Pour montrer que I n ⇒ I n+1 , il sut donc de vérier que

√ 2n + 1

2(n + 1) ≤ 1

√ 2n + 3 . Or cette inégalité est équivalente à

√ 2n + 1 √

2n + 3 ≤ 2(n + 1) et celle ci est une conséquence de

(2(n + 1)) ² − (2n + 1)(2n + 3) = 1 ≥ 0 pour n ≥ 1.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai Asommes

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b. Le numérateur de P n est le produit des impairs consécutifs alors que le déno- minateur est le produit des pairs. Avec la remarque de l'énoncé, tous les entiers gurent au numérateur alors qu'au dénominateur, seuls les pairs gurent et ils y sont deux fois. Dans le produit des pairs, en mettant les 2 en facteur, on retrouve une factorielle. On en tire :

P _n = (2n)!

(2 ⁿ n!) ² = (2n)!

2 ²ⁿ (n!) ² et P _n = 2 ⁻²ⁿ 2n

n

.

c. Formons le quotient des deux coecients avec 0 ≤ k < n :

2n k+1

2n k

= (2n)(2n − 1) · · · (2n − k) (k + 1)!

k!

(2n)(2n − 1) · · · (2n − k + 1) = 2n − k k + 1 .

avec ^2n−k _k+1 < 1 car 2n − k − k − 1 = 2(n − k) − 1 > 0 . On en déduit que la suite des ²ⁿ _k

est strictement croissante de 0 à n . D'après la formule _2n−k ²ⁿ

= ²ⁿ _k

, les mêmes valeurs se retrouvent au delà de n donc ²ⁿ _n est le plus grand des coecients ²ⁿ _k

pour k entre 0 et 2n .

La partie droite de l'encadrement à prouver résulte de l'inégalité de a. et de l'expression de b.

La partie gauche résulte d'une formule du binôme majorée simplement : 2 ²ⁿ = (1 + 1) ²ⁿ =

2n

X

k=0

2n k

≤ (2n + 1)

| {z }

nb de termes

×

2n n

| {z }

le plus gd des termes

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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