MPSI B 29 juin 2019

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Dans un espace muni d'un repère orthonormé direct R = (O, ( − → i , − →

j , − →

k )) , on considère plusieurs objets.

La courbe H d'équation

( x = 1 y

− z

= 4

Pour ε ∈ {−1, +1} et u ∈ R, le point H

(u) de coordonnées (1, ε2 ch u, 2 sh u) . D

la droite passant par O et de direction − →

k .

L'union S des droites D telles que D ∩ D

6= ∅ , D ∩ H 6= ∅ et D orthogonale à − → k . 1. Soit (a, b) ∈ R

quelconques. Montrer que

a

− b

= 1 ⇔ ∃ε ∈ {−1, +1}, ∃u ∈ R tq

( a = ε ch u b = sh u

2. Soit M un point de l'espace. Caractériser paramétriquement que M ∈ S . La condition devra contenir des quanticateurs et des paramètres clairement précisés.

3. Déterminer une équation cartésienne de S .

Corrigé

1. D'après les propriétés des sinus et cosinus hyperboliques, pour u réel et ε ∈ {−1, +1} ,

a = ε ch u b = sh u

)

⇒ a

− b

= 1

Réciproquement, si a

− b

= 1 alors a

= 1 + b

≥ 1 . D'après les propriétés de la fonction sinus hyperbolique, il existe u ∈ R tel que b = sh u . On en déduit alors ch

u = a

d'où a = ε ch u avec ε = 1 si a > 0 et ε = −1 si a < 0 .

2. Par dénition de S , un point quelconque M appartient à S si et seulement si il existe H ∈ H et K ∈ D

tels que −−→

HK ⊥ − →

k et M ∈ (HK ) .

D'après la première question, les points de H sont de la forme H

(u) et il existe un seul point de D

tel que −−−−−→

H

(u)K ⊥ − →

k . On le note K(u) . Précisons les coordonnées : H

(u) : (1, 2ε ch u, 2 sh u) K(u) : (0, 0, 2 sh u)

Un point M appartient à H si et seulement si

∃ε ∈ {−1, 1}, ∃u ∈ R , ∃λ ∈ R tels que M = K(u) + λ −−−−−−−→

K(u)H

(u)

On peut traduire cette condition en coordonnées : M ∈ S ⇔ ∃ε ∈ {−1, 1}, ∃u ∈ R , ∃λ ∈ R tels que



 

 

x(M ) = λ y(M ) = 2λε ch u z(M ) = 2 sh u

3. Former une équation cartésienne de S c'est trouver une relation entre les coordon- nées assurant de l'existence des paramètres dans la caractérisation paramétrique de la question précédente. On peut remplacer λ par x(M ) . La question 1 montre alors que

M ∈ S ⇔

y(M ) x(M )

− z(M )

= 4 ⇔ y(M )

= x(M )

(z(M )

+ 4)

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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