I. Nombres complexes

MPSI B Année 2019-2020. DS 0 (2h) le 20/09/19 21 septembre 2019

I. Nombres complexes

1. Soitw∈C. On notex= Re(w)ety= Im(w). Exprimer le module et un argument de e^iw en fonction dexety.

2. Soitz∈C. On note a= Re(z)et b= Im(z). a. Exprimere^iz+e^−iz−2 comme un carré.

b. On note

D=

e^iz+e^−iz 2 −1

, S=

e^iz+e^−iz 2 + 1

.

ExprimerD,S etD+S et la somme de ces deux expressions à l'aide de aetb. On pourra faire apparaitre des carrés sous les modules.

II. Sommations

1. Calculer les sommes suivantes

F =

n

X

k=0

k(k!), B=

n

X

k=0

1 k+ 1

n k

.

2. Pour tout entiern≥1, on note

P_n =

n

Y

k=1

2k−1 2k . a. Montrer par récurrence que

Pn < 1

√2n+ 1.

b. En remarquant que

Pn =

n

Y

k=1

2k−1 2k ×(2k)

(2k),

exprimerPn uniquement avec des factorielles et une puissance de 2. En déduire une expression dePn faisant intervenir un coecient du binôme.

c. Soit k entier tel que 0 ≤ k < n. Montrer que ²ⁿ_k

< _k+1²ⁿ. Que peut-on en déduire pour ²ⁿ_n

? Montrer que 2²ⁿ 2n+ 1 ≤

2n n

≤ 2²ⁿ

√2n+ 1.

III. Équations

L'objet de cet exercice est d'exprimercos^2π₅ avec des racines carrées.

On considère deux équations

1 +z+z²+z³+z⁴ = 0 (1)

z²+z−1 = 0 (2)

1. Préciser l'ensemble des solutions de (1). Préciser l'ensemble des solutions de (2).

2. Montrer queuest solution de (1) si et seulement siu+¹_u est solution de (2).

3. Préciser sous forme trigonométrique l'ensemble des valeurs prises paru+_u¹ lorsqueu décrit l'ensemble des solutions de (1).

4. En déduire une expression decos^2π₅ avec des racines carrées.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S1900E