NOMBRES COMPLEXES I.

(1)

NOMBRES COMPLEXES

I. Définition Corrigé

Exercice 1 : Le tableau complété est le suivant :

Nombre complexe z

Partie réelle de z

Partie imagi-

naire de z opposé de z conjugué de z nombre réel : oui/non

imaginaire pur : oui/non

2 3i− 2 −3 − +2 3i 2 3i+ non non

−6 −6 0 6 −6 oui non

− −2 5i −2 −5 2 5i+ − +2 5i non non

3i 0 3 −3i −3i non oui

1

i− −1 1 − +i 1 − −i 1 non non

i2 −1 0 1 −1 oui non

i3 0 −1 ⁱ ⁱ non oui

Exercice 2 :

a) 2 est le nombre complexe de partie réelle 2 et de partie imaginaire 0.

b) 1+ = + i 1 1 i : la partie imaginaire de 1+i est 1.

c) 2i= +0 2i : la partie réelle de 2i est 0.

d) 1+ = − =i² 1 1 0 : la partie réelle de 1+i²est 0.

e)

(

¹⁺ⁱ

)

² = +   + = + − =¹² ^{2 1} ⁱ ⁱ² ^{1 2}ⁱ ¹ ²ⁱ : la partie réelle de

(

¹⁺ⁱ

)

²^{est 0.}

II. Représentation Corrigé

Exercice 3 :

1) Le point A a pour coordonnées

( )

1;1 , le point ^B

( )

^2;1 , le point

(

^2;1

)

C − et le point ^D

(

^{0; 2}

)

^.

v

O

A B

C

D

u

(2)

2) Les points E, F et G ont pour coordonnées

respectives : ^E

(

⁻^{1; 0}

)

^,^F

(

^{2; 2}

)

^et^G

(

^{1; 1}⁻

)

.

Exercice 4 : a) Im( )z =0

En posant z= +x iy, Im( )z =0 équivaut à y=0. L’ensemble des points M est l’axe des abscisses.

b) Re( )z =1

En posant z= +x iy, Re( )z =1 équivaut à x=1. L’ensemble des points M est la droite d’équation x=1.

c) Im( ) 1 et z = − 2 Re( )z 2 En posant z= +x iy, les conditions s’écrivent :



^{−  }^y²⁼¹^x ²^.

L’ensemble des points M est le segment



^{A B}^;



^.

III. Calculs Corrigé

Exercice 5 :

( )

1 2 2 1 4 2 3 3

a= + −i − = + − + = − +i i i i

( )

²

1 2 2 1 4 2 1 3 2 ( 1) 1 3

b= + −i i − = + − +i i i i = − +  − = − −i i

(

¹

)(

²

)

^{2 2} ² ² ^{1 3}

c= +i − = + − − = + + = +i i i i i i

(

²

)

² ^{4 4} ² ^{3 4}

d = −i = − + = −i i i

(

²

) (

² ²

)

² ^{4 4} ²

(

^{4 4} ²

)

^{3 4}

⁽

^{3 4}

⁾

⁸

e= −i − +i = − + − + +i i i i = − − +i i = − i Exercice 6 : Soit f la fonction définie sur  par ^{f z}^{( )}^{= +}

(

¹ ^{i z}

)

²^{− +}^z ⁱ^.

( )

²

(2) 1 2 2 4 4 2 2 5

f = +  − + = + − + = +i i i i i

( )

²

( )

( ) 1 1 ( 1) 1

f i = +  − + = +  − = − −i i i i i i

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

2 2

2 1 2 2 1 4 4 2 2

1 3 4 2 2 3 3 4 4 2 2 5

f i i i i i i i i i

i i i i i i i

− = + − − − + = + − + − +

= + − − + = + − + − + = + Exercice 7 :

( ) ( )

3 2

4 13 4 13 4 13 4 13 0

i − +i i + + i i− i= − + + +i i i− − i= F

O E

G u v

O ^u v

A B

(3)

donc le nombre complexe i est solution de l’équation ^z³^{− +}

(

⁴ ^{i z}

)

²⁺

(

^{13 4}⁺ ^{i z}

)

⁻¹³ⁱ⁼⁰

Exercice 8 :

2

1

i i

a i

i i

= = = = −

− ¹ ₂

1

i i

b i

i i

= − = − = − =

−

( )( )

² ²

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2 2 2

i i i

c i

i i i

− − −

= = = = = −

+ + − +

( ( ) )( )

2

2 2

1 1 1 1

1 1 1 1 1 2 2 2

i i

i i i i

d i

i i i

− − +

= = = = = +

+ + − +

( ( ) )( )

2 2

1 1 1 2 2

1 1 1 1 1 2

i i i i i

e i

i i i

− − − + −

= = = = = −

+ + − +

( ) ( )

( )( )

2

2 2

1 1

1 1 2 2

1 1 1 1 1 1 2 1

i i i

i i i i i

f i

i i i i

− − + − − − −

= − = = = = −

+ − + − +

( )( )

² ²

1 1 2 2 2 2 1

2 2 2 2 ( 2) 1 5 5 5

i i i

g i

i i i i

− − − − − −

= = = = = = − −

− − + − + − − − +

( )( )

2

2 2

2 2 4 2 2 3 4 3 4

2 2 2 2 ( 2) 1 5 5 5

i i

i i i i i i

h i

i i i i

+ − −

+ + − − − − − −

= = = = = = − −

− − + − + − − − +

( )

( )( )

2

2 2

2 1 3

2 2 6 2 6 3 1

1 3 1 3 1 3 ( 1) 3 10 5 5

i i

i i i i

k i

i i i

− − − − − +

= = = = = −

− + − + − − − +

Exercice 9 : z₁ = +2 i 2 et z₂ = −2 i 2.

( )( )

( )( ) ( )

2 1

2 2 2

1 2 2 2

3 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2

6 3 6

2 2 2 2 2 2 2 2

i i

z i i i i i

z i i i i

− + +

− + − − + − + − +

= = = = = − +

− − + + .

IV. Conjugués Corrigé

Exercice 10 :

a) z₁ = +1 i ; z₂=2 ; z₃= −3i ; z₄= − +2 2i, donc z₄= − −2 2i ;

2 2

5 2 2

1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 2 2

1 (1 ) (1 ) 1 1 1 2

i i i i i i i

z i

i i i i

− − − − − + −

= =  = = = = −

+ + − − + ; donc z₅=i ;

D’après les propriétés des conjugués, ₆ 1 (1 ) 1 ₅

1 (1 ) 1

i i i

z z

i i i

+ −  − 

= − = + = + = ; donc z₆= = = −z₅ z₅ i. b) Si on pose z= +x iy, alors z = −x iy. Alors z+ =z 2xet z− =z 2iy.

Or z₆ =z₅ . Donc z₅+ = + = z₆ z₅ z₅ 2 Re( )z₅ et : z₅− = − = z₆ z₅ z₅ 2 Im( )z₅ . Exercice 11 : Posons z= +x iy. Alors z = −x iy.

a) z est un imaginaire pur, si et seulement si, x=0. z s’écrit alors z=iy. D’où z = −iy et z = −z. b) z est un réel, si et seulement si, y=0. z s’écrit alors z=x. D’où z=x et z =z.

V. Équations Corrigé

(4)

Exercice 12 :

1) 3 1 2 3 3 ³

3

z− = − i z= −  =i z −i donc 1 1 3 S = − i

 . 2) (1−i z) = −  − = −  =1 iz z iz 1 iz z 1 donc ^S⁼

 

¹ ^.

3) z² (1− +i z) = 0 z z( − +(1 i))=  =0 z 0 ou z= +1 i donc ^S⁼



^{0 ;1}⁺ⁱ



^.

4) 1 2 1 ¹ i

iz i iz i z

i

+ = −  = −  = − et 1 (1 ) ( ) ²

( ) 1 1

i i i i i

i i i i

− = −  − = − + = − −

 − donc ^S ^{= − −}



¹ ⁱ



^.

5) (1 ) 2 ²

i z z 1 + =  = i

+ et 2 2(1 ) 2 2 2 2

1 (1 )(1 ) 1² ² 2 1

i i i

i i i i i

− − −

= = = = −

+ + − − donc ^S ^{= −}

 

¹ ⁱ ^.

6) 3 3 ( 1 ) 3 ³

1

iz z i iz z i i z i z i

i + = +  − = − +  − + − +  =− +

− +

et 3 ( 3 )( 1 ) 3 3 ² 3 2 1 4 2

1 ( 1 )( 1 ) ( 1)² ² 2 2 2

i i i i i i i i

i i i i i

− + = − + − − = + − − = + + = + = +

− + − + − − − − donc ^S⁼



²⁺ⁱ



^.

7) (1 ) 2 2 ( 1 )

1

i z z i z iz z i z i i z i

i + = −  + − = −  − + = −  = −

− +

et ( 1 ) ² 1

1 ( 1 )( 1 ) ( 1)² ² 2

i i i i i i

i i i i

− = − − − = + = −

− + − + − − − − donc 1 1

2 2

S = − + i

 .

8) ⁽¹ ^{) ²} ⁽¹ ^{) ²} ⁰



⁽¹ ⁾ ¹



⁰ ^{0 ou (1} ⁾ ¹ ⁰ ^{0 ou} ¹

i z z i z z z i z z i z z z 1

+ =  + − =  + − =  = + − =  = = i

+

et 1 1 1 1

1 (1 )(1 ) 1² ² 2

i i i

i i i i

− − −

= = =

+ + − − donc 1 1

0 ;2 2 S= − i

 .

Exercice 13 :

1) z² 1 0+ =  = −  =z² 1 z i ou z= −i donc ^S ⁼



ⁱ^;⁻ⁱ



^.

2) z² 2− z+ =5 0  = −( 2)² 4 1 5−   = − =16 (4 )²i d’où ^{2 4} 1 2 ou ^{2 4} 1 2

2 2

i i

z= − = − i z= + = + i donc ^S ^{= −}



^{1 2 ; 1 2}ⁱ ⁺ ⁱ



^.

3) z² 4− z+ =6 0  = −( 4)² 4 1 6 16 24−   = − = − = 8 (i 2 2)²

d’où 4 2 2

2

z= + i ou 4 2 2

2

z= − i donc ^S⁼



²⁺ⁱ ^{2 ; 2}⁻ⁱ ²



^.

4) Pour tout z1, ² 2 ( 1) 2 ² ² 2 2 0

1

z z z z z z z z z z

z

− =  − = −  − = −  − + =

− .

2 2

( 2) 4 1 2 4 (2 )i

 = − −   = − = d’où ^{2 2} ou ^{2 2}

2 2

i i

z= − z= + donc ^S ^{= −}



¹ ⁱ^;1⁺ⁱ



^.

Exercice 14 :

1) 2 1 ¹ ¹ ¹ ¹ ¹

2 2 2 2 2

z = +  =i z +i  = +z i = −z i. L’équation a une solution : ¹ ¹ 2 2 z= − i.

2) 1 ¹

(

¹

)

¹

(

¹

)

¹

1

1 1 1

z i z z iz i z i i

z i

z

z z z

− = + − = +

  − = + 

− =    − 

+   −    −

( )( )

2 2

1 1 1

1 1 2 2

1 1 1 1 2

i i i i i

z z i

i i i i

+ +

+ + +

 =  = = = =

− − + −

D'où : z =i et z= −i . L’équation a une solution : z= −i. 3) iz− + =z 2 0 (3) .

Posons z= +x iy et z = −x iy. L’équation (3) est équivalente à (3’) : ^{− − + +}^x ^y ² ^{i x}

(

⁺^y

)

⁼⁰^.

(5)

( )

2

x y i x y

− − + + + est le nombre complexe nul, donc sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles. On résout donc le système : ² ⁰

0 x y

x y

− − + =

 + =



2 0 x y x y

 + =

  + = . C’est un système impossible. L’équation (3) n’a pas de solution.

4) z−3iz+ =6i 0 (4).

Posons z= +x iy ; z = −x iy. L’équation (4) est équivalente à (4’) : ^x⁺³^{y i}^{+ − − +}

(

³^x ^y ⁶

)

⁼⁰^.

D’où

3 0 3 3 3

94

3 6 3( 3 ) 6 8 6

4 y

x y x y x y

x y y y y x

 = −

+ = = − = −

   

   

   

+ = − + = − =

    =

  



.

L’équation (4) a une solution : ⁹ ³ 4 4 z= − i .

VI. Modules et distances Corrigé

Exercice 15 :

5 ) 5 (

5 = − ² =

−

=

a ; b = 3i = 3² =3 ; c = −2i = (−2)² =2 ;

2 )

1 ( 1² + − ² =

=

d ; e = 1² +1² = 2 ; f = 2+2i = 2² +2² = 8=2 2 ; 5

2 ) 1

(− ² + ² =

=

g ; 1

4 3 4 1 2

3 2

1 ² ² = + =



 +



 



= 

h ;

2 3 9 2 9 2

2 3 2

2

3 ² ²

= +

 =







−

 +







= 

k ; l = (1+i)² =1+i² = 1² +1²² = 2² =2 ; 2

2 2 1

2 1

2 = =

= +

i

m i ;

( )

² ²

8 1

1 2 2 1

2 2 1

2 2

2 2 2

2 = =

− +

= +

−

= +

−

= +

i i i

n i .

Exercice 16 :

10 1

3² + ² =

=

= a

OA ; OB= b =

( )

−¹² +³² = ¹⁰ ; ^OC ⁼ ^c ⁼

( ) ( )

⁻ ⁵ ² ⁺ ⁻ ⁵ ² ⁼ ¹⁰^.

OA=OB=OC. Donc O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Exercice 17 :

( )

5 9 25 34 3

5 3 ) 6 5 (

2+ − − + = − = ² + − ² = + =

−

=

−

= z z i i i

AF _F _A

34 25 9 3 5 3 5 ) 2 7 (

2+ − − − = + = ² + ² = + =

−

=

−

= z z i i i

BF _F _B

34 9

25 3

) 5 ( 3 5 ) 2 3 (

2+ − − = − + = − ²+ ² = + =

−

=

−

= z z i i i

CF _F _C

34 AF=BF=CF= ,

donc les points A, B et C sont sur le même cercle de centre F et de rayon 34 . Exercice 18 :

5 25 16

9 4

) 3 ( 4 3 2

2 ( ) 2 1

(− + − − = − + = − ² + ² = + = =

=

−

= k a i i i

AK ;

5 ) 5 ( 5 ) 7 1 ( ) 2 1

(− + − − + = − = − ² =

=

−

= k b i i i

BK ;

5 ) 5 ( 5 ) 2 4 ( ) 2 1

(− + − + = − = − ² =

=

−

= k c i i

CK ;

(6)

5 25 16 9 4 3 4 3 ) 2 4 ( ) 2 1

(− + − − − = + = ²+ ² = + = =

=

−

= k d i i i

DK .

Les points A, B, C et D sont sur le cercle de centre K et de rayon 5.

VII. Géométrie Corrigé

Figures géométriques

Exercice 19 : Soient A, B et C les points d’affixes respectives z_A i z_B i z_C i 2 1 2 et 1 2 ,

1+ = + = −

−

= .

a) Notons z_AB l’affixe du vecteur AB. On a :

2 ( 1 )

2 1

3

B A

zAB z z

i i

= −

= + − − +

= + + −

=

1 1

( 1 )

2 2

1 1

2 2 1

3 3

2 2

C A

zAC z z

i i

i

= −

= − − − +

= − + −

= −

1 1

(2 )

2 2

1 1

2 2 2

3 3

2 2

C B

zBC z z

i i

i

= −

= − − +

= − − −

= − − b) AB= z_B−z_A = 3 =3

2 9 4 18 4

9 4 9 2

3 2

3 ² ²

=

= +

 =



 

−

 +



 



= 

−

=

−

= z z i

AC _C _A

2 9 4 18 4

9 4 9 2

3 2

3 ² ² = + = =



 

−

 +



 



=  −

−

=

−

= z z i

BC _B _C

c) Nature du triangle ABC :

On constate que AC=BC. Le triangle ABC est donc isocèle en C.

D’autre part, ² ² 9 ²

2 18 2 9 2

9 AB

BC

AC + = + = = = .

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est aussi rectangle en C.

Exercice 20 : a=3 ; b=5−2i ; c=5+2i Calculons les distances AB, ACet BC.

8 4 4 ) 2 ( 2 2 3 3 2

5− − = − = ²+ − ² = + =

=

−

=

−

= z z b a i i

AB _B _A

8 2 2 2 2 3 2

5+ − = + = ²+ ² =

=

−

=

−

= z z c a i i

AC _C _A

4 16 4

) 0 ( 4 0 2 5 2 5 ) 2 5 ( 2

5+ − − = + − + = + = ²+ ² = =

=

−

=

−

= z z c b i i i i i

BC _C _B

On constate que AB=AC. Le triangle ABC est donc isocèle en A.

D’autre part AB²+AC² =8+8=16=BC².

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est aussi rectangle en A.

Exercice 21

(7)

D’après la figure, ABCD paraît être un parallélogramme. Il semblerait aussi que tous ses côtés aient la même longueur (on peut s’en rendre compte en comparant ces longueurs avec un compas).

Montrons d’abord que ABCD est un parallélogramme en montrant que

⎯→

⎯

⎯→

⎯AB = DC . i

i i z

z

z _B _A

AB

−

=

− +

=

−

⎯→ =

⎯ 7 2 3 7 et

i i i

z z

z _C _D

DC

−

= + +

−

=

−

⎯→ =

⎯ 2 3 5 2 7 .

Les vecteurs

⎯→

⎯

AB et

⎯→

⎯

DC ont la même affixe. Ces vecteurs sont donc égaux. ABCD est bien un parallélogramme.

Montrons maintenant que AB=AD.

50 )

1 ( 7 7

3 2

7+ − = − = ²+ − ² =

=

−

= b a i i i

AB

50 )

5 ( ) 5 ( 5 5 3 2

5− − = − − = − ²+ − ² =

−

=

−

= d a i i i

AD .

On a bien : AB=AD.

ABCD est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur. ABCD est un losange.

Exercice 22 : a=4+3i ; b=8−5i ; c=12+7i a) Calculons les distances AB, ACet BC.

. 80 64 16 )

8 ( 4 8 4 3 4 5

8− − − = − = ²+ − ² = + =

=

−

= b a i i i

AB

80 16 64 4

8 4 8 3 4 7

12+ − − = + = ²+ ² = + =

=

−

= c a i i i

AC .

160 144

16 12

4 12 4 5 8 7

12+ − + = + = ²+ ² = + =

=

−

= c b i i i

BC .

On remarque que AB=AC. Le triangle ABC est isocèle en A.

D’autre part AB²+AC² =80+80=160=BC².

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est aussi rectangle en A.

b) Déterminons le point D pour que ABDC soit un parallélogramme.

Nous verrons après que ABDC sera alors en fait un carré.

Soit d l’affixe (inconnue pour l’instant) du point D.

La phrase « ABDC est un parallélogramme » se traduit successivement par : AB=CD

AB CD

z = z b a− = −d c d = + −c b a

12 7 8 5 4 3

d= + + − − −i i i 16

d = −i

ABDC est un parallélogramme si et seulement si le point D a pour coordonnées (16 ; 1)− . Or nous avons montré que le triangle ABC est un triangle rectangle en A.

Le parallélogramme ABDC a un angle droit (c’est donc un rectangle) et deux côtés consécutifs de même longueur ; c’est un carré.

ABDC est un donc un carré si et seulement si le point D a pour coordonnées (16 ; 1)− .

(8)

Transformations Exercice 23 :

Soit b' l’affixe du point B'. On a ^b^'⁼

(

^{2 2}⁻ ⁱ

)(

^{3 5}⁺ ⁱ

)

^{+ = +}¹ ^{6 10}ⁱ^{− −}⁶ⁱ ¹⁰ⁱ²^{+ = + +}¹ ⁷ ⁴ⁱ ¹⁰

Donc b' 17 4= + i. Exercice 24 :

a) Soit a l’affixe de A ; on a :a=4+i. Soit a' l’affixe de l’image de A par f. On a

(

1 2

)(

4

)

2 4 4 8 2 2 4 2 5 2 5.

' i i i i i i² i i i

a= + + − − = + + + − − = + − =

i a'=5 .

Soit b l’affixe de B ; on a : b=1+i. Soit b' l’affixe de l’image de B par f. On a

(

i

)(

i

)

i i i i i i i

b'= 1+2 1+ −2−4 =1+ +2 +2 ²−2−4 =−1−2− =−3− . i

b'=−3− .

b) ^M

( )

^z est invariant par f si et seulement si f(M)=M. M

M

f( )= équivaut à z'=z

(

^{1 2}⁺ ^{i z}

)

^{− − =  +}^{2 4}ⁱ ^z

(

^{1 2}^{i z}

)

^{− = + }^z ^{2 4}ⁱ ²^iz^{= +}^{2 4}ⁱ

d’où

( ) ( )

( )

1 2 2

2 4 1 2 2

2 1 2

i i

i i i i

z i

i i i i

+  −

+ + − −

= = = = = −

 − .

La transformation f admet un unique point invariant : le point d’affixe 2−i. Exercice 25 :

( )

z

M est invariant par f si et seulement si f(M)=M . M

M

f( )= équivaut à z'=z z

i z

iz =

−

− 3

7

3 et z3i 3iz−7= z

(

z−3i

)

et z3i 3iz−7= z²−3iz et z3i z²−6iz+7=0 et z 3i. On pose z=x+iy.

( ) ( )

0 7 6 6 2

0 7 6

2 2

2

= +

−

− + +

= + +

− +

y i ix y i ixy x

iy x i iy x

(

2 6

)

0 7

2 6

2 −y + y+ +i xy− x =

x





=

−

= + +

−

0 6 2

0 7

2 6

2

x xy

y y x

( )

2 2

2 3 0

6 7 0

x y

x y y

 − =



− + + =



2

0

6 7 0

x

y y

 =

− + + =

 ou ₂ 3

9 18 7 0

y x

 =

 − + + =

 0

1 ou 7 x

y y

 =

 = − =

 ou ₂ 3 16 0 y

x

 =

 + =

 L’équation x²+16=0 n’a pas de solution réelle.

(9)

La transformation f a donc deux points invariants : les points d’affixes z₁ = −i et z₂ =7i.

Ensembles de points Exercice 26 :

1) Le point A a pour coordonnées ^A

( )

^1;1 ^,

le point ^B

(

⁻^{2; 0}

)

et le point ^C

(

⁻^{1; 2}

)

^.

2) Soit M(z)

a) z− − = +1 i z 2 équivaut à z−a = z−b , c’est à dire AM=BM. L’ensemble des points M cherché est la médiatrice du segment

 

^A^B ^.

b) z+ =2 3 équivaut à z−b = 3, c’est à dire BM = 3.

L’ensemble des points M cherché est le cercle de centre B et de rayon 3 . c) z− +2i 1; 2 équivaut à z−c ; 2, c’est à dire CM ; 2.

L’ensemble des points M cherché est le disque fermé (bord compris) de centre C et de rayon 2.

Exercice 27 :

a) Soit

( )

^E l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que z i− = +z 1 .

( )

E =



M tels que z i− = − −z

( )

1



.

On pose A le point d’affixe z_A=i et B celui d’affixez_B = −1

( )  

 

tels que tels que

A B

E M z z z z

M AM BM

= − = −

= = . L’ensemble

( )

^E est la médiatrice de

 

^AB ^.

b) Soit

( )

^F l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que z− − = −1 i 3 4 .i

( )  

( ) ( )

 

( )

 

2 2

tels que 1 3 4

= tels que 1 3 4

= tels que 1 5

F M z i i

M z i

= − − = −

− + = + −

− + = On pose C le point d’affixe z_C = +1 i

( )  

 

tels que 5

F M z zC

M CM

= − =

= = . L’ensemble

( )

^F est le cercle de centre C et de rayon 5.

c) Soit

( )

^G l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que z =1

( )  

 

tels que 1

= tels que 1

O

G M z

M z z

M OM

= =

− =

=

L’ensemble

( )

^G est le cercle de centre O, l’origine du repère, et de rayon 1.

Exercice 28 :

Soit

( )

^E l’ensemble des points M du plan complexe tels que ⁴ 1 2 z i

z

− = + .

B

O ^u v

A C

(10)

( )

 

4 4

tels que 1 tels que 1

2 2

tels que 4 2

z i z i

E M M

z z

M z i z

 − 

 −   

= + =   = + = 

= − = +

Soient A et B deux points du plan d’affixes respectives z_A=4i et z_B= −2;

( )

E =



M^{tels que} z−zA = −z zB



=



M^{tels que}AM =BM



^.

L’ensemble

( )

^E est donc la médiatrice du segment

 

^AB ^.

Exercice 29 :

1) Soit Z= +x iy un nombre complexe. On sait alors que Z = −x iy.

( )( )

² ²

(

² ²

)

²

^{( )}

²

Z Z = x iy+ x iy− =x +y = x +y = Z

Remarque : la démonstration peut se faire aussi avec l’écriture exponentielle mais nécessite de prendre en compte le cas particulier de zéro qui n’admet pas d’écriture exponentielle.

2) Soit

( )

^E l’ensemble des points M du plan complexe tels que ¹ ¹ ¹

2 2 4

z z

 +  + =

  

   .

( )

^{tels que} ¹ ¹ ¹ ^{tels que} ¹² ¹

2 2 4 2 4

E =M z+ z+ =     =M z+ =  (on applique le résultat de la question 1) avec ¹

Z = +z 2)

( )

^{tels que} ¹ ¹

2 2

E =M z+ = 

  . On pose A le point du plan complexe d’affixe ¹

A 2 z = −

( )

^{tels que} ¹ ^{tels que} ¹ ^.

2 2

E =M z−zA =   = M AM = 

   

L’ensemble

( )

^E est le cercle de centre A et de rayon ¹. 2

Exercice 30 :

On considère l’application f qui, à tout nombre complexe z, associe le nombre complexe ( ) ² 1 f z iz

z

= −

− . On pose z= +x iy, avec x et y réels.

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

2 2

2 2 1

2 2

1) 1 1 1 1 1

2 2 2

1

2 2 2

1

i x iy y ix x iy

iz ix y

f z z x iy x iy x iy x iy

x iy y xy iy ix ix xy

x y

x y i y y x x

x y

− + + − − +

− − +

= = = =

− − + − − − − − +

− + + − + − + +

= − +

− + + + − +

= − +

( ( ) ) ₍ ₎

2 2

( ^{( )} )

²

₍

²

₎

2 2

2 2 2

Re et Im

1 1

x y x y x y

f z f z

x y x y

− + + − +

= =

− + − +

2) Soit

( )

^E l’ensemble des points M du plan complexe tels que ^{f z}

( )

soit réel.

(11)

( ) ( )

 

( ) ( ) ( )

2 2

2

2 2

2

tels que 2 0

1

tels que 2 0 et , 1, 0

1 1

tels que 1 1 0 et , 1, 0

2 4

1 5

tels que 1 et , 1, 0

2 4

x y x y

E M

x y

M x y x y x y

M x y x y



 + − + 

 

= = 

− +

 

 

= + − + = 

 

   

=  −  − + + − =  

 

   

=  −  + + =  

 

 

 

L’ensemble

( )

^E est le cercle de centre le point  de coordonnées 1 2; 1

 − 

 

  et de rayon ⁵ 2 , privé du point A de coordonnées

( )

^{1; 0 .}