Chapitre 1
Équations polynomiales dans C
Introduction :
A la Renaissance, les mathématiciens (surtout italiens) ont utilisés les nombres complexes pour résoudre des équations polynomiales en s'appuyant sur :
Théorème résolution des équations du second degré à coecients dans R :
On considère le polynôme du second degré P(z) =az2+bz+c où z désigne une variable éventuellement complexe et a,betctrois paramètres réels aveca6= 0. Lesracinesdu polynômeP sont les solutions de l'équationaz2+bz+c= 0 Le discriminant est le nombre réel∆ =b2−4ac
Si∆>0alors l'équationaz2+bz+c= 0admet 2 solutions réelles (qui sont confon- dues en une solution unique lorsque∆ = 0) :
z1= −b+√
∆
2a et z2= −b−√
∆ 2a
Si∆<0alors l'équationaz2+bz+c= 0n'admet aucune solution réelle et admet 2 solutions complexes conjuguées :
z1=−b+ip
|∆|
2a et z2= −b−ip
|∆|
2a
Dans tous les cas, la forme factorisée du polynôme P est : P(z) =a(z−z1)(z−z2)
Beaucoup de mathématiciens n'acceptaient leur usage que parce qu'ils disparaissaient à la n des calculs (notamment en calculant la somme des racines lorsque ∆<0) et que les solutions obtenues pouvaient être vériées sans recourir aux nombres imaginaires.
Ce n'est qu'au XIXieme siècle que les nombres complexes ont été pleinement accep- tés lorsque le danois Gaspard Wessel en a trouvé une interprétation géométrique, puis, lorsque des constructions prouvant leur existence ont été proposées (notamment à l'aide des matrices).
Depuis, des interprétations en sciences physique (comme l'impédance) ont encore renforcé l'intérêt porté aux nombres complexes.
I
Ensemble des nombres complexes
Notations :
La notation∀xsigniequelque soit xou bien encorepour toutx.
La notation∃isignieil existeiou bien encorepour au moins unx.
La notationx∈E signie que l'élémentxappartientà l'ensembleE.
La notationR⊂E, signie que l'ensembleRestinclusdans l'ensembleE autrement dit que∀x∈R, on ax∈E
Remarque :
Lapuissance d'un nombre x d'exposant entier n, notée xn, est dénie de manière usuelle à partir de la multiplication par :
1. ∀x∈E,x1=x
2. ∀x∈E,∀n∈Z,xn+1=xn×x (à condition d'avoirx6= 0lorsquen60)
Postulat :
On peut étendre l'ensembleRdes nombres réels en un ensemble de nombres avec lesquels il est possible d'eectuer les opérations usuelles (addition, soustraction, multiplication, division par un nombre non nul) et qui contient un nombre imaginaireitel quei2=−1 Voir exercice 4
Dénition :
On note C l'ensemble des nombres complexes z qui peuvent s'écrire sous la forme z=a+ibavec a∈Retb∈R
Autrement dit, en notantE un ensemble de nombres satisfaisant le postulat précédent, C={z∈E | ∃a∈R,∃b∈R, z=a+ib}
Théorème :
L'ensembleCdes nombres complexes est le plus petit ensemble de nombres qui est stable par addition, soustraction, multiplication et division par un nombre non nul et qui contient Reti.
Voir exercice 5
Corollaire :
Siz∈C∗, alors∀n∈Z,zn∈C
1
Remarque :
C∗désigne l'ensemble des nombres complexes non nuls,N∗l'ensemble des entiers naturels non nuls etZ l'ensemble des entiers relatifs.
Pour le casz= 0, on a∀n∈N∗,0n= 0∈C
II
Forme algébrique des nombres complexes
Théorème : unicité de la forme algébrique :
Soienta∈R,b∈R,x∈Rety∈R
a+ib=x+iy ⇔ a=xetb=y
Notation :
Le symbole⇔se lit "équivaut à" et signie "si, et seulement si".
A⇔B traduit une équivalence entre les armationAetB, qui sont donc soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses.
A ⇔ B s'interprète aussi comme une double équivalence et signie qu'on a à la fois A⇒B etB⇒A
Dénitions :
L'écriture d'un nombre complexe sous la formez =a+ibaveca∈Retb∈Rest donc unique. Cette écriture est appeléeforme algébriquedez
Le nombre réelaest appelépartie réelledez et on note a=Re(z) Le nombreréelbest appelépartie imaginairede z et on noteb=Im(z)
Exemples : Re
2 7+8
3i
=2
7 Im
1−√ 2i
=−√
2 Re(i) = 0 Im(i) = 1
Théorème : unicité des parties réelle et imaginaire :
Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
Démonstration et remarque : voir exercices 6 et 7
Corollaire :
∀z∈C, z∈R ⇔ Im(z) = 0
Dénition :
Pourz∈C, on dit quez est un nombreimaginaire pur lorsqueRe(z) = 0
Exemple :
18iest un nombre imaginaire pur.
III
Conjugués et modules
1
Conjugués
Dénition :
Pour z ∈ Ctel que z =a+ib avec a ∈ R et b ∈ R, le conjugué de z est le nombre complexe z =a−ib
Exemples :
2−3i = 2 + 3i −1 +4
3i =−1−4
3i 8,6i =−8,6i 5,12 = 5,12
Propriété :
Pour toutz∈C 1. z =z
2. z =z ⇔ z∈R
3. z =−z ⇔ z est un imaginaire pur.
Démonstration : Exercice.
2
Propriété : compatibilité avec les opérations :
∀z∈C,∀z0∈C
1. z0+z = z0 + z
2. z0−z = z0 − z −z =−z
3. z0×z = z0 × z ∀n∈N∗, zn = z n
4. Pourz6= 0, z0
z = z0 z
1 z = 1
z
∀n∈Z, zn = z n
Démonstration : Exercice
2
modules
Dénition :
Le module d'un nombre complexez∈Cest le nombre réel positif noté |z|tel que
|z|= q
(Re(z))2+ (Im(z))2
Autrement dit :
Siz=x+iyavecx∈Rety∈R, |z|=p x2+y2
Propriété lien entre module et conjugué :
∀z∈C,|z|2=z× z
Démonstration :
Exercice, en utilisant l'écriture dezsous forme algébrique
Corollaire compatibilité avec certaines opérations :
∀z∈C,∀z0∈C
1. |z×z0|=|z| × |z0| | −z|=|z| ∀n∈N∗, |zn|=|z|n 2. pourz6= 0,
z0
z
= |z0|
|z|
1 z
= 1
|z|
∀n∈Z, |zn|=|z|n
Démonstration :
Exercice, en utilisant les propriétés des conjugués et des racines carrées
Remarque :
On ne peut écrire aucune égalité générale concernant le module d'une somme ou d'une diérence (se référer à la propriété d'inégalité triangulaire).
IV
interprétations géométriques
Dénition :
Soit(O,−→u ,−→v)un repère orthonormé direct du plan.
L'axedu point M de coordonnées(x;y)∈R2 est le nombre complexez=x+iy. L'axedu vecteur−→w de coordonnées(x;y)∈R2 est le nombre complexez=x+iy. Réciproquement, on appelle point image (respectivementvecteur image) du nombre complexez le point (respectivement le vecteur) de coordonnées(x;y)
Lorsqu'on utilise les axes (nom féminin), on dit que le plan complexe est rapporté au repère orthonormé (O,−→u ,−→v) et on appelle l'axe des abscisses "axe réel" et l'axe des ordonnées "axe imaginaire".
Propriété :
Soient A et B deux points d'axes complexeszA et zB dans un repère orthonormé du plan(O,−→u ,−→v)
1. Le vecteur−−→
AB a pour axezB−zA
2. La longueur du segment[AB]vautAB=|zB−zA|
En particulier, la distance entre le pointAet l'origine du repère vautOA=|zA| 3. Le milieu I du segment[AB]a pour axezI=zA+zB
2 (moyenne des axes) 4. Le pointS, symétrique du pointApar rapport à l'axe réel, a pour axezS= zA
3 ovok.free.fr Équations polynomiales dansC
Démonstration :
Évidente : il s'agit d'une reformulation des propriétés analogues pour les coordonnées pour les trois premières armations. Pour la dernière, il s'agit de constater que le symétrique d'un point de coordonnées(x;y) par rapport à l'axe des abscisses à pour coordonnées(x;−y)
Propriété :
Soient−−→w1 et −−→w2 deux vecteur d'axes complexes z1 etz2 dans le repère orthonormé (O,−→u ,−→v)
Soitk∈R
1. La norme du vecteur−−→w1 vaut||−−→w1||=|z1| 2. Le vecteur−−→w1 +−−→w2 a pour axez1 +z2
3. Le vecteurk−−→w1 a pour axekz1
Par conséquent, la colinéarité de 2 vecteurs se reconnait à l'existence d'un coe- cient de proportionnalité réel entre leurs axes.
Démonstration :
Évidente à partir des propriétés analogues sur les coordonnées.
Exemples :
L'axe du pointAestzA= 5−2ietB est le point image de−3 +i.
Le pointC, symétrique deBpar rapport à l'axe réel, a pour axe −3 +i =−3−i On a :OA=|5−2i|=p
52+ (−2)2=√
29(longueur exprimée en unités du repère) etAB=|(−3 +i)−(5−2i)|=| −8 + 3i|=p
(−8)2+ 32=√
73unités du repère L'axe du vecteur−−→
AB est−8 + 3iet−w→est le vecteur image de2 +i
Propriété inégalité triangulaire :
∀z∈C,∀z0∈C
1. | |z| − |z0| |6|z−z0|6|z|+|z0| 2. | |z| − |z0| |6|z+z0|6|z|+|z0|
Les cas d'égalités se produisent lorsque les points M,O et N sont alignés, c'est à dire lorsqu'il existek∈Rtel quez0=kzou bienz=kz0
Démonstration :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé(O,−→u ,−→v) SoitM le point d'axezetN le point d'axez0
Dans le triangleOM N, l'inégalité triangulaireM N6OM+ON traduit le fait que le plus court chemin allant de N à M est le segment[N M].
De même, on aOM 6M N+ON et par conséquentOM−ON6M N On a aussiON6M N+OM et par conséquentON−OM6M N
La longueur M N est à la fois supérieure à OM −ON et ON−OM , donc elle est supérieure à celle de ces deux diérences qui est positive.
Ainsi,|OM−ON|6M N
Globalement, on a|OM−ON|6M N6OM+ON OrOM =|z|,ON =|z0|etM N=|z−z0|
Cela donne donc| |z| − |z0| |6|z−z0|6|z|+|z0|
4 .
V
équations polynomiales
1
Racines carrées d'un nombre complexe
Propriété :
Tout nombre complexe non nulzadmet exactement deuxracines carrées complexes opposées,uet−u, telles queu2=z et(−u)2=z.
Dans le cas particulierz = 0, la seule possibilité estu=−u= 0, ainsi la racine carrée est unique.
Autrement dit :
∀z∈C, ∃u∈C|u2=zet∀t∈C\ {u;−u}, t26=z
oùC\ {u;−u}désigne l'ensemble de tous les nombres complexes privé deuet de−u Démonstration :
Cette propriété sera justiée par la méthode de détermination des racines carrées ex- pliquée après.
Exemple :
−3 + 2iest une racine carrée de5−12icar
(−3 + 2i)2 = (−3)2+ 2×(−3)×2i+ (2i)2= 9−12i−4 = 5−12i L'autre racine carrée de5−12iest3−2i(l'opposé de−3 + 2i)
Remarque :
Pourx∈R+(ensemble des nombres réels positifs ou nuls),√
xest déni comme l'unique nombre réel positif (c'est à dire supérieur ou égal à0) tel que√
x2=x.
L'impossibilité de dénir un ordre sur C compatible avec les opérations empêche d'étendre cette dénition de la fonction racine dansC.
C'est pour cette raison que le symbole√
n'est pas utilisé avec les nombres com- plexes, puisqu'il ne serait pas possible d'identier clairement laquelle des deux racines carrées complexes serait désignées par ce symbole (à moins de dénir un ordre arbi- traire surCd'une manière non compatible avec les opérations, ce qui conduirait à des incohérences non souhaitables du type−1 =p
(−1)2 =p
(−1)2=√ 1 = 1) Méthode de détermination d'une racine carrée : voir exercice 24
2
polynômes
Dénitions :
Poura∈Cetn∈N, le monômede degré n et decoecienta est désigné par l'ex- pressionaXn.
Unpolynômeest la somme d'un nombre ni de monômes et le degrédu polynôme est le degré maximal de ces monômes.
Ainsi, un polynôme P de degré n∈ Npeut être désigné par une expression de la forme a0+a1X+a2X2+...+anXnoùa0,a1, ...,an sont des coecients complexes, ce qu'on écrit aussi
n
X
k=0
akXk (avec la conventionX0= 1)
Lafonction polynomialeassociée à ce polynôme est la fonction
P: C −→ C
x 7→ a0+a1x+a2x2+...+anxn Lesracinesdu polynôme sont les solutions de l'équationP(z) = 0
Remarque :
Les propriétés et les démonstrations concernant les polynômes seront davantage détaillées dans un chapitre ultérieur . La dénition précédente indique comment désigner un po- lynôme à l'aide d'une expression sans totalement expliciter sa nature.
Aucune situation du programme de TSI ne nécessite véritablement de faire une distinc- tion entre polynôme et fonction polynomiale. Elle a été donnée par soucis de rigueur car de telles situations existent cependant.
On peut donc sans risque recourir à l'abus de notation fréquent qui consiste à désigner par le même nomP à fois le polynôme et la fonction polynomiale.
Théorème (admis) :
Les armations suivantes sont équivalentes : 1. Les polynômesP etQsont égaux,
autrement dit, ils ont le même degré et leurs coecients sont respectivement égaux 2. Les fonctions polynomiales associées àP etQsont égales,
autrement dit,∀z∈C,P(z) =Q(z)
Théorème de factorisation (admis) :
SoientP un polynôme de degréd∈N∗à coecients complexes etα∈C
αest une racine deP si, et seulement si, il existe un polynômeQ, de degréd−1tel que P = (X−α)×Q
Remarque :
La méthode présentée dans l'exercice 27 montre comment prouver l'implication directe
⇒du théorème précédent dans le cas où on connait la racine et le polynôme. Toutefois, pour que cela constitue une preuve du théorème, il faudrait démontrer que cette méthode aboutit toujours.
L'implication réciproque⇐est une conséquence évidente de la règle du produit nul.
5 ovok.free.fr Équations polynomiales dansC
Corollaire :
Le nombre de racines d'un polynôme est inférieur ou égal à son degré.
Démonstration :
Démonstration par récurrence
Propriété :
SoitP un polynôme à coecients réels.
Siu∈Cest une racine deP alors u est aussi une racine deP. Démonstration : voir exercice 28
Remarque :
La forme factorisée est utile pour les études de signes et les résolutions d'inéquations dans l'ensembleRdes nombres réels.
On peut démontrer qu'il est impossible de dénir un ordre sur l'ensembleCdes nombres complexes d'une manière compatible avec les opérations.
Il n'y a donc jamais de situation conduisant à une résolution d'inéquation dansC.
3
équations du second degré
Théorème de résolution des équations du second degré :
On considère le polynôme du second degré P(z) = az2+bz+c où a, b etc sont trois paramètres complexes aveca6= 0.
Le discriminant est le nombre complexe∆ =b2−4ac. On noteδet−δ les racines carrées de∆dansC L'équationaz2+bz+c= 0admet 2 solutions complexes :
z1=−b+δ
2a et z2= −b−δ 2a
z1 etz2 sont les racines du polynômeP et sa forme factorisée est : P(z) =a(z−z1)(z−z2)
Dans le cas particulier∆ = 0, la solution est unique puisque z1=z2.
Remarque :
Lorsquea,betcsont des nombres réels,∆est un nombre réel.
Si∆>0alorsδ=√
∆et on retrouve les formules : z1 =−b+√
∆
2a et z2=−b−√
∆ 2a
Si∆ = 0alorsδ= 0et on retrouve la formule donnant une solution unique : z1= −b
2a et z2=−b 2a
Si∆<0alors on obtient 2 solutions complexes conjuguées en prenantδ=ip
|∆|: z1=−b+ip
|∆|
2a et z2=−b−ip
|∆|
2a
et on retrouve le fait que l'équationaz2+bz+c= 0n'admet aucune solution réelle.
Démonstration :
Soienta∈C∗,b∈Cetc∈C.
Pourz∈C, en posantP(z) =az2+bz+c, on a alors : P(z) =a
z2+ b
az+ c a
=a
z2+ 2× b 2az+ b2
4a2 − b2 4a2 +4ac
4a2
En considérant∆ =b2−4acetδ∈Ctel queδ2= ∆, on obtient : P(z) =a
"
z+ b
2a 2
− ∆ 4a2
#
=a
"
z+ b
2a 2
− δ
2a 2#
P(z) =a
z+ b 2a− δ
2a
×
z+ b 2a+ δ
2a
=a
z−−b+δ 2a
×
z−−b−δ 2a
D'après la règle du produit nul, l'équationP(z) = 0est donc équivalente à z−−b+δ
2a = 0 ou z−−b−δ 2a = 0
Les deux racines du polynômeP sont donc bien les nombres complexes z1=−b+δ
2a et z2=−b−δ 2a
6
