MPSI B Année 2011-2012 Corrigé DM 15 29 juin 2019
Problème
Partie I - Dénition et propriétés.
1. a. La linéarité est évidente avec les opérations polynomiales.
b. Siuest bijective, elle est en particulier surjective et le polynôme1est une image paru. Il existe donc des polynômesAetB tels que1 =P A+QB ce qui entraine P et Qpremiers entre eux d'après le théorème de Bezout.
c. SupposonsP etQpremiers entre eux et considérons(A, B)∈keru.
AlorsP A=−QB doncP diviseQB. OrP est premier avecQdoncQdiviseB d'après le théorème de Gauss. CommeA, B)∈E, le degré deB est strictement plus petit que celui de Q. On doit donc avoir B = 0 ce qui entraine A nul et l'injectivité deu.
Comme u est une application linéaire entre deux espaces vectoriels de même dimension, on en déduit queuest bijective.
2. a. Par dénition,MatBB0uest la matrice présentée dans l'énoncé et dont le déter- minant est le résultant.
b. L'applicationuest bijective si et seulement siMatBB0uest inversible si et seule- ment si Res(P, Q)6= 0.
Attention à ne surtout pas parler dedetuqui n'a aucun sens carun'est pas un endomorphisme.
D'autre part, u bijective est équivalent à P et Q premiers entre eux d'après la question 1. Comme on considère des polynômes à coecients complexes, ils sont scindés. Deux polynômes sont premiers entre eux si et seulement si ils n'ont pas de racine en commun. Deux polynômes ont une racine en commun si et seulement si ils ne sont pas premiers entre eux c'est à dire si et seulement si leur résultant est nul.
3. a. Un polynômeP à coecients complexes admet une racine multiple si et seulemnt si il a une racine en commun avec son polynôme dérivé ce qui est équivalent à Res(P, P0) = 0.
b. SoitP =X3+aX+b. AlorsP0= 3X2+aet
Res(P, P0) =
b 0 a 0 0 a b 0 a 0 0 a 3 0 a 1 0 0 3 0 0 1 0 0 3
Calculons ce déterminant par la méthode du pivot :
Res(P, P0) =
1 0 0 3 0 0 1 0 0 3 b 0 a 0 0 a b 0 a 0 0 a 3 0 a
=
1 0 0 3 0
0 1 0 0 3
0 0 a −3b 0 0 b 0 −2a 0
0 a 3 0 a
=
1 0 0 3 0
0 1 0 0 3
0 0 a −3b 0 0 0 0 −2a −3b
0 0 3 0 −2a
=
a −3b 0 0 −2a −3b
3 0 −2a
=a(4a2) + 3(9b2)
= 4a3+ 27b2
Partie II - Applications.
1. a. On calcule le résultant des deux polynômes qui est le déterminant d'une matrice (notons laA)7×7.
1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 −1 1 0 0
0 0 1 0 −1 1 0
1 0 0 1 0 −1 1
1 1 0 0 1 0 −1
0 1 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 1
=
1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 −1 1 0 0
0 0 1 0 −1 1 0
0 0 0 0 0 −1 1
0 1 0 −1 1 0 −1
0 1 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 1
=
1 0 −1 1 0 0
0 1 0 −1 1 0
0 0 0 0 −1 1
1 0 −1 1 0 −1
1 1 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1
=
1 0 −1 1 0 0
0 1 0 −1 1 0
0 0 0 0 −1 1
0 0 0 0 0 −1
0 1 1 −1 1 0
0 1 0 0 0 1
=−
1 0 −1 1 0 0 0 −1 1 1 −1 1
1 0 0 0
=
1 0 −1 1 1 −1 1 0 0
=
0 −1 1 −1
= 1
Comme ce résultant est non nul, les polynômes sont premiers entre eux.
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Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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b. D'après la première partie, on peut trouver le couple(A, B)en résolvant l'équation vectorielle
u(A, B) = 1
Elle se traduit par l'équation matricielleAX =C oùX est une matrice colonne inconnue à 7 lignes etC la matrice colonne dont le premier coecient vaut 1et les autres0.
Les trois premières lignes donnent les coecients de A0 et les quatre dernières celles deB0. Notonsx1,· · ·, x7les coecients deX.
Résolvons le système associé à cette équation matricielle par une méthode du pivot :
AX=C⇔
x1 +x4 = 1
x2 −x4+x5 = 0 x3 −x5 +x6 = 0 x1 x4 −x6+x7 = 0 x1 +x2 +x5 −x7 = 0 x2+x3 +x6 = 0
x3 +x7 = 0
⇔
x1 +x4 = 1
x2 −x4+x5 = 0
x3 −x5 +x6 = 0
−x6+x7 =−1 x2 −x4+x5 −x7 =−1
x2+x3 +x6 = 0
x3 +x7 = 0
⇔
x1 +x4 = 1
x2 −x4+x5 = 0 x3 −x5 +x6 = 0
−x6+x7 =−1
−x7 =−1 x3 +x4−x5 +x6 = 0
x3 +x7 = 0
⇔
x1 +x4 = 1
x2 −x4+x5 = 0
x3 +x7 = 0
x3 −x5 +x6 = 0 x3 +x4−x5 +x6 = 0
−x6+x7 =−1
−x7 =−1
⇔
x1 +x4 = 1
x2 −x4+x5 = 0
x3 +x7 = 0
−x5 +x6−x7 = 0 x4−x5 +x6−x7 = 0
−x6+x7 =−1
−x7 =−1
⇔
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
=
1
−1
−1 0 1 2 1
On en tire
A0= 1−X−X2 B0=X+ 2X+X3
c. Il s'agit d'une question de cours classique utilisant le théorème de Gauss. Les couples cherchés sont de la forme
(A0+ ΛB, B0−ΛA) oùΛ est un polynôme quelconque.
2. Considérons des polynômesP etQavec des ensembles de racines respectivementRet S. Poury réel, formons le polynôme By obtenu en substituanty−X àX dansB. Pour toutz∈C,z est racine deQy si et seulement siy−z est racine deB. On peut alors écrire
Res(P, Qy) = 0⇔P etQy ont une racine en commun
⇔ ∃z∈ Rtqy−z∈ S ⇔ ∃(z, x)∈ R × S tqy−z=x
⇔ ∃(z, x)∈ R × S tqy=z+x Comme Res(P, Qy) est une expression polynomiale en y, les racines du polynômes associé sont donc les sommes des racines des polynômes de départ.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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Dans notre cas particulier, on forme encore le résultant
3 0 y2−7 0 0 3 −2y y2−7
1 0 1 −2y
0 1 0 1
=
1 0 1 −2y
3 0 y2−7 0 0 3 −2y y2−7
0 1 0 1
=
1 0 1 −2y
0 0 y2−10 6y 0 3 −2y y2−7
0 1 0 1
=
1 0 1
0 y2−10 6y 3 −2y y2−7
= (y2−10)2+ 12y2
=y4−8y2+ 100
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