Chapitre 20 Ensembles nis
I - Ensembles nis I.1 - Dénitions
Définition 1 (Ensemble fini).
L'ensemble E est un ensemble ni siE =∅ ou s'il existe un entier n∈N? et une application bijective f : J1, nK→E.
Exercice 1.
1. Donner des exemples d'ensembles nis.
2. Montrer que si E est un ensemble ni et F est en bijection avec E, alors F est un ensemble ni.
Lemme 1.
Soientp, q∈N?. Il existe une bijection de J1, pKdansJ1, qKsi et seulement sip=q. Définition 2 (Cardinal).
SoitEun ensemble non vide etp, q∈N?. On suppose queEest en bijection avecJ1, pKetJ1, qK.
Alors,p=q. Cette valeur commune est appelée cardinal deEet est notéeCard(E) =|E|=]E. Par convention, |∅|= 0.
Exercice 2.
1. Soientk, n∈N? tels quek6n. Déterminer le cardinal de J1, nKpuis deJk, nK.
2. Montrer que tout ensemble en bijection avec un ensemble ni de cardinal n est ni et de cardinaln.
I.2 - Ensembles et cardinaux E etF désignent deux ensembles nis.
Lemme 2.
Six∈E, alors E\{x} est un ensemble ni et|E\{x}|=|E| −1. Théorème 1 (Sous-ensemble).
Si F ⊂ E, alors F est un ensemble ni et |F| 6 |E|. De plus, |F| = |E| si et seulement si F =E.
Exercice 3.Montrer que Nn'est pas un ensemble de cardinal ni.
Lemme 3.
Soit f ∈F(E, F).
(i). Si f est injective etF est ni, alors E est ni et|E|6|F|. (ii). Si f est surjective etE est ni, alors F est ni et|F|6|E|. Théorème 2 (Caractérisation des bijections).
Soient E, F deux ensembles nis tels que|E|=|F|et f ∈F(E, F). Les assertions suivantes sont équivalentes.
(i). f est injective. (ii). f est surjective. (iii). f est bijective.
Corollaire 3 (Principe de Dirichlet).
Soient E, F deux ensembles nis tels que |E| > |F| et f ∈ F(E, F). Alors, f n'est pas injective.
Exercice 4.Montrer que pour tout réel x et tout entier naturel N > 2, il existe (p, q) ∈ Q2 tel
que
x−p q 6 1
qN.
I.3 - Parties de N
Théorème 4 (Caractérisation des parties finies deN).
Une partie de Nest nie si et seulement si elle est majorée.
Théorème 5.
Soit P ⊂ N un ensemble de cardinal n non nul. Il existe une unique bijection strictement croissante de J1, nKsur P.
II - Dénombrement
SoientE, F deux ensembles nis.
II.1 - Opérations sur les ensembles nis Propriété 1 (Partition).
SiE etF sont deux ensembles disjoints, alorsE∪F est ni et|E∪F|=|E|+|F|. Exercice 5.Soitn∈N?.
1. SoitA⊂E. Montrer que |cA|=|E| − |A|. 2. Si(Ak)k∈
J1,nK forme une partition deE, montrer que| Sn
k=1
Ak|=
n
P
k=1
|Ak|. Propriété 2 (Réunion).
SoientA, B⊂E. Alors,A∪B est un ensemble ni et |A∪B|=|A|+|B| − |A∩B|. Exercice 6. (Formule du crible / de Poincaré)Soientn ∈ N? et(Ai)i∈
J1,nK une famille de parties de E. Montrer que
n
[
k=1
Ak
=
n
X
k=1
(−1)k+1 X
16i1<···<ik6n
k
\
j=1
Aij
.
Propriété 3 (Produit cartésien).
E×F est un ensemble ni et |E×F|=|E| · |F|. Théorème 6 (Lemme des bergers).
Soitp un entier naturel non nul,E etF deux ensembles nis et f : E→F. On suppose que pour tout y∈F,|f−1({y})|=p. Alors,|E|=p|F|.
Exercice 7.Soit(n, p)∈(N?)2.
1. Déterminer le nombre de couples(x, y) deJ1, nK
2 tels que x6=y.
2. Soit E un alphabet contenant p lettres. Déterminer le nombre de mots de n lettres pouvant être formés avec l'alphabet E qui ne contiennent jamais deux lettres consécutives identiques.
Propriété 4 (Applications).
F(E, F) est un ensemble ni et|FE|=|F||E|.
Exercice 8.Soitn∈N?.
1. Déterminer le nombre d'applications deJ1, nKdansJ1, nK.
2. Déterminer le nombre de façons de tirer successivement 5 boules avec remise dans une urne contenantnboules numérotées.
3.Déterminer le nombre de mots de5lettres pouvant être construits avec un alphabet constitué des lettres du mot KAYAK.
Corollaire 7.
|P(E)|= 2|E|. II.2 - Arrangements Définition 3 (Arrangements).
Soit E un ensemble ni de cardinal n et p un entier naturel. Un arrangement de longueur p d'éléments de E est unep-liste d'éléments deE deux à deux distincts. On noteApn le nombre d'arrangements deE de longueurp.
Propriété 5.
Pour tous n, p∈N,
Apn=
( n!
(n−p)! sip6n
0 sinon.
Exercice 9.Soit n∈ N?. Déterminer le nombre de façons de tirer successivement 5 boules sans remise dans une urne contenantn boules numérotées.
Théorème 8.
SoientE un ensemble de cardinal petF un ensemble de cardinaln. (i). Il y aApn injections deE dansF.
(ii). Si p = n, il y a n! bijections de E dans F. Les bijections de E sont appelées des permutations.
II.3 - Combinaisons Définition 4 (Combinaisons).
Soit E un ensemble ni de cardinaln etp un entier naturel. Une combinaison de p éléments de E est une partie deE de cardinal p. On note np
le nombre de combinaisons de péléments de E.
Propriété 6.
Pour tous n, p∈N, np
= Ap!pn. Exercice 10.
1.Soitn∈N?. Déterminer le nombre de façons de tirer simultanément5boules sans remise dans une urne contenant nboules numérotées.
2. Déterminer le nombre d'anagrammes du mot KAYAK.
Théorème 9.
(i). ∀n, p∈N, np
= n−pn . (ii). ∀n, p∈N?, p np
=n n−1p−1 .
(iii). ∀ p∈N?, n∈N, p np
= (n−p+ 1) p−1n . (iv). ∀ n∈N,
n
P
k=0 n k
= 2n.
(v). Triangle de Pascal.∀ n, p∈N?, np
= n−1p−1
+ n−1p . (vi). Binôme de Newton.∀ x, y∈R, n∈N?,(x+y)n=
n
P
p=0 n p
xpyn−p.
III - Groupe symétrique
III.1 - Éléments du groupe symétrique
Dans toute cette partie,ndésigne un entier naturel non nul.
Définition 5 (Groupe symétrique).
Le groupe symétrique, notéSn, est l'ensemble des permutations deJ1, nK.(Sn,◦)est un groupe de cardinaln!. Sin>3, ce groupe est non commutatif.
Notation.
Soitσ ∈Sn. On noteσ =
1 2 · · · n
σ(1) σ(2) · · · σ(n)
.
Exercice 11.Décrire l'ensemble des éléments de S2,S3 etS4. Définition 6 (Transposition).
Une transposition de Sn est une permutation θ telle qu'il existe i, j ∈ J1, nK satisfaisant i6=j, θ(i) =j etθ(j) =iet pour tout entierkdiérent de i, j,θ(k) =k. On noteθ= (i, j). Exercice 12.Déterminer les transpositions de S3.
Propriété 7.
Les transpositions sont des applications involutives.
Définition 7 (Cycle).
Soientp>2etA={a1, . . . , ap} ⊂J1, nK. Soitσ la permutation dénie parσ(x) =x, ∀x6∈A et σ(ai) =ai+1,∀ i∈J1, p−1K, σ(ap) =a1.σ est appelé cycle de longueur p de support A.
On noteσ = (a1,· · ·, ap).
Exercice 13. (Ordre d’un cycle) 1. Déterminer les cycles deS3.
2. Soitcun cycle de longueur p. Montrer que min{i∈J1, nK; ci = Id
J1,nK}=p.
Propriété 8.
Montrer que si c etc0 sont deux cycles à support disjoints de Sn, alors cetc0 commutent.
III.2 - Décompositions Lemme 4.
Soit n>2 etϕ : Sn−1 →Sn, σ 7→ σ(1) σ(2) . . . σ(n−1) n
.ϕest un morphisme de groupes etϕ(Sn−1) ={σ∈Sn ; σ(n) =n}.
Théorème 10 (Décomposition).
Toute permutation deSn se décompose en produit de transpositions.
Exercice 14.Soit cun cycle. Donner une décomposition de cen produit de transpositions.
Définition 8 (Orbite).
Soit σ∈Sn etx∈J1, nK. L'orbite dex est l'ensemble {σp(x), p∈N}.
Exercice 15.
1. Soitσ=
1 2 3 4 5 6 5 2 1 6 3 4
. Déterminer l'orbite de chacun des entiers de J1,6K.
2. Montrer qu'il existe un entierp∈J1, nKtel que l'orbite de ksoit {σ`(k), `∈J0, p−1K}. Propriété 9.
Soit σ ∈ Sn. Les orbites de σ forment une partition de J1, nK. On notera o(σ) le nombre d'orbites de σ.
Théorème 11.
Toute permutation se décompose comme un produit de cycles à supports disjoints. Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.
Exercice 16.Décomposer la permutationσ =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 10 2 4 7 9 8 5 6 1
en produit de cycles à supports disjoints.
III.3 - Signature d'une permutation Définition 9 (Signature).
Soit σ∈Sn. La signature deσ, notéeε(σ), est le nombre (−1)n−o(σ).
Exercice 17.Soit θune transposition de Sn. Déterminer la signature deθ. Théorème 12 (Morphisme).
L'application εest un morphisme du groupe(Sn,◦) dans le groupe({−1,1},×).
Exercice 18. (Inversions)Soitσ ∈Sn. Le nombre d'inversions de σ, notéI(σ), est le cardinal de {(i, j) ; i < j etσ(j)< σ(i)}. Montrer que ε(σ) = Q
{i,j}, i6=j
σ(i)−σ(j)
i−j = (−1)I(σ). Corollaire 13.
Le nombre de transpositions dans la décomposition d'une permutation est de parité constante.
Exercice 19. (Groupe alterné)L'ensemble An= Ker(ε) est le groupe alterné d'ordren. 1. Montrer queAn est un groupe.
2. Soitn>2. Montrer que|An|= n!2.
