Enoncé D342 (Diophante) Pierre et les anneaux de bois
Pierre fabrique des bouliers. Pour cela il utilise des boules en bois parfaite- ment sphériques et de même taille qu’il perce d’un trou cylindrique dont la base est parfaitement circulaire et dont l’axe passe par le centre de chaque boule. Les boules ainsi percées sont enfilées sur un support mesurant 60 cm dont la tige a la forme du trou. La longueur de la tige correspond à un nombre entier de boules. (La tige, pleine, ne dépasse pas et ne laisse aucun espace vide dans la dernière boule). La masse volumique du bois utilisé est de 0,65 g/cm3. Une fois les boules enfilées jusqu’au sommet de la tige sur le support la masse totale boules + support est de 400g. La masse du support est comprise entre 73g et 74g
Saurez-vous dire combien de boules au maximum on peut enfiler sur un support ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soitkle nombre de boules, ethla hauteur que chacune occupe sur la tige.
On a h= 60/k centimètres.
Lemme (théorème du rond de serviette)
La sphère (rayons) évidée par un cylindre coaxial (rayonc) a même volume que la sphère ayant pour diamètre la hauteurh= 2√
s2−c2 de la sphère évidée.
Preuve : chaque plan perpendiculaire à l’axe du cylindre et distant de z du centre de la sphère coupe le solide selon un anneau de rayons c et
√s2−z2, d’aireπ(s2−z2−c2) =π(h2−z2), aire de la section de la sphère concentrique de diamètreh.
Le volume d’une boule est πh3/6 = 36000π/k3, sa masse 23400π/k3, la masse totale deskboules
23400π/k2= 104π(15/k)2 grammes.
C’estk= 15 qui donne au support la masse 400−104π= 73,274 grammes dans la fourchette de l’énoncé.
Chacune des 15 boules occupe une hauteur de 4 cm sur la tige et pèse 104π/15 grammes, sans qu’on puisse préciser son diamètre qui dépend de celui de la tige.
