D342. Pierre et les anneaux de bois *** Problème proposé par Jean-Marie Breton
Pierre fabrique des bouliers. Pour cela il utilise des boules en bois parfaitement sphériques et de même taille qu’il perce d’un trou cylindrique dont la base est parfaitement circulaire et dont l’axe passe par le centre de chaque boule.
Les boules ainsi percées sont enfilées sur un support mesurant 60 cm dont la tige a la forme du trou.
La longueur de la tige correspond à un nombre entier de boules. (La tige, pleine, ne dépasse pas et ne laisse aucun espace vide dans la dernière boule).
- la masse volumique du bois utilisé est de 0,65 g/cm3.
- Une fois les boules enfilées jusqu’au sommet de la tige sur le support la masse totale boules + support est de 400g.
- La masse du support est comprise entre 73g et 74g
Saurez-vous dire combien de boules au maximum on peut enfiler sur un support ?
Solution proposée par Michel Lafond : On peut enfiler 15 boules.
Prenons comme unités le centimètre et le gramme.
Soient : r le rayon du cylindre (trou), R le rayon d’une boule,
la demi hauteur du cylindre, H = 2 h la hauteur du cylindre,
ms la masse du support,
Ve le volume évidé supérieur d’une boule, n le nombre de boules.
On a
Le volume d’une boule évidée (donc le bois) est égal au volume de la sphère moins le volume du cylindre moins 2 fois le volume évidé soit :
après simplifications et en utilisant . On a par hypothèse : n H = 60 d’où
La masse totale de bois utilisée est = 400.
Donc = 400 ou en utilisant
= 400 soit qui est compris entre 326 et 327 par hypothèse.
Ainsi, ce qui entraîne donc n = 15.
h R
Ve
r
