D324 - Pierre et les anneaux de bois

Problème proposé par Jean-Marie Breton

Pierre fabrique des bouliers. Pour cela il utilise des boules en bois parfaitement sphériques et de même taille qu’il perce d’un trou cylindrique dont la base est parfaitement circulaire et dont l’axe passe par le centre de chaque boule.

Les boules ainsi percées sont enfilées sur un support mesurant 60 cm dont la tige a la forme du trou.

La longueur de la tige correspond à un nombre entier de boules. (La tige, pleine, ne dépasse pas et ne laisse aucun espace vide dans la dernière boule).

- la masse volumique du bois utilisé est de 0,65 g/cm³.

- une fois les boules enfilées jusqu’au sommet de la tige sur le support la masse totale boules + support est de 400g.

- la masse du support est comprise entre 73g et 74g

Saurez dire combien de boules au maximum on peut enfiler sur un support ?

Le volume d’une sphère percée par un cylindre ne dépend pas du rayon de la sphère mais seulement de la hauteur de la partie restante ( problème classique du «rond de serviette»). Il est donc égal au volume de la sphère dont le diamètre est égal à cette hauteur. Si h est la hauteur de la tige sur laquelle sont enfilées n boules, chacune a pour volume πh

/6n

. Si d est la densité du bois, la masse des boules est donc πdh

/6n

; soit ici, numériquement, environ 73513/n

.

Pour n=15, on obtient une masse légèrement supérieure à 326g, qui ajoutée à la masse du support permet d’atteindre les 400g cherchés.

D324 - Pierre et les anneaux de bois