D342 - Pierre et les anneaux de bois Problème proposé par Jean-Marie Breton
Pierre fabrique des bouliers. Pour cela il utilise des boules en bois parfaitement sphériques et de même taille qu’il perce d’un trou cylindrique dont la base est parfaitement circulaire et dont l’axe passe par le centre de chaque boule.
Les boules ainsi percées sont enfilées sur un support mesurant 60 cm dont la tige a la forme du trou.
La longueur de la tige correspond à un nombre entier de boules. (La tige, pleine, ne dépasse pas et ne laisse aucun espace vide dans la dernière boule).
- la masse volumique du bois utilisé est de 0,65 g/cm3.
- une fois les boules enfilées jusqu’au sommet de la tige sur le support la masse totale boules + support est de 400g.
- la masse du support est comprise entre 73g et 74g
Saurez –vous dire combien de boules au maximum on peut enfiler sur un support ? Solution par Patrick Gordon
On sait que le volume v (sans le trou cylindrique) d'une boule creuse ne dépend pas du rayon de la boule mais seulement de la hauteur h du cylindre : v = π h3/6.
S'il y a n boules, on a h = 60/n et donc le volume total des boules (sans le cylindre) est : V1 = n π h3/6 = 36.000 π /n²
À quoi il faut ajouter le volume du cylindre : V2 = 60 π r² (r étant son rayon).
L'énoncé nous dit que le volume total V = V1 + V2 = 400 / 0,65 = 615,38.
Ainsi, on a entre n et r la relation : 36.000 π /n² + 60 π r² = 615,38.
Mais l'énoncé nous dit aussi que 60 π r² (volume du cylindre) est compris entre 73 / 0,65 et 74 / 0,65, soit entre 112,31 et 113,85.
Donc :
615,38 – 113,85 < 36.000 π /n² < 615,38 – 112,31.
soit encore :
36.000 π / (615,38 – 112,31) < n² < 36.000 π / (615,38 – 113,85)
c’est-à-dire :
224,81 < n² < 225,50 Or 15² = 225.
Il n'y a pas d'autre solution que n = 15.
