Partie I – Calcul de la somme d’une série convergente

Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP

Année 2020-2021 Mathématiques

Devoir maison n ^◦ 04 – à rendre le lundi 16 novembre

à peu près la moitié d’une épreuve de 4 heures — durée estimée : 3 heures minimum

Partie I – Calcul de la somme d’une série convergente

1. Vérifier, pour toutn∈N^∗ : Z π

0

t² 2π−t

cos(nt)dt = 1 n². 2. Établir, pour toutm∈N^∗ et pour toutt∈]0, π]:

1−e^imt

1−e^it e^it = sin^mt₂

sin₂^t e^i(m+1)t2 , puis

m

X

n=1

cos(nt) = cos^(m+1)t₂ sin^mt₂ sin^t₂ .

3. Soitu: [0, π]→Rune application de classeC¹. Montrer, à l’aide d’une intégration par parties :

Z π

0

u(t) sin(λt)dt^λ→+∞−→ 0.

M. Cochet : ce résultat très classique s’appelle le lemme de Riemann-Lebesgue.

4. Soit l’application f : [0, π]→Rdéfinie parf(t) = t² 2π−t 2 sin t

2

sit∈]0, π], etf(0) =−1.

Monter que f est de classeC¹ sur[0, π].

5. (a) Montrer : ∀m∈N^∗,

m

X

n=1

1

n² = π² 6 +

Z π

0

f(t) sin

(2m+ 1)t 2

dt.

(b) Justifier la convergence de la sérieX

n≥1

1

n². Montrer :

+∞

X

n=1

1

n² = π² 6 .

Partie II – Étude d’une fonction définie par la somme d’une série convergente

1. (a) Montrer que, pour tout(x, y)∈[0,+∞[², les sériesX

n≥1

1

(n+x)(n+y) et X

n≥1

1

(n+x)²(n+y) convergent.

(b) Montrer que, pour toutx∈[0,+∞[, la sérieX

n≥1

1

n− 1

(n+x)

converge.

On noteS l’application définie, pour toutxde[0,+∞[, par S(x) =

+∞

X

n=1

1

n− 1

(n+x)

. 2. CalculerS(0) etS(1).

3. (a) Établir : ∀(x, y)∈[0,+∞[², S(y)−S(x) = (y−x)

+∞

X

n=1

1 (n+x)(n+y). (b) En déduire : ∀(x, y)∈[0,+∞[², |S(y)−S(x)| ≤ π²

6 |y−x|.

(c) Montrer alors que la fonctionS est continue sur [0,+∞[.

4. (a) Montrer, pour tout(x, y)de[0,+∞[², tel quex6=y:

S(y)−S(x) y−x −

+∞

X

n=1

1 (n+x)²

≤ |y−x|

+∞

X

n=1

1 n³. (b) En déduire que la fonctionS est dérivable sur[0,+∞[et que : ∀x∈[0,+∞[, S⁰(x) =

+∞

X

n=1

1 (n+x)². (c) Préciser les valeurs deS⁰(0)et S⁰(1).

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