Lemme de Riemann-Lebesgue

Lemme de Riemann-Lebesgue

2012-2013

Référence : Hervé Queffélec, Claude Zuily,Éléments d’analyse pour l’agré- gation (3e édition), Dunod, 2007, p.73.

Lemme.

Soita, b∈R, a < b.

Soitf ∈L¹([a, b]).

Soitλ∈R. Alors :

lim

|λ|→∞

Z b

a

f(t)e^iλtdt = lim

|λ|→∞

Z b

a

f(t) cos(λt)dt

= lim

|λ|→∞

Z b

a

f(t) sin(λt)dt

= 0

Démonstration. Il suffit de démontrer que la première limite est nulle.

Soit (λn)_n∈N une suite de réels non nuls telle que|λn| → ∞.

On définit (ln)_n≥1 des formes linéaires surL¹([a, b]) par : ln(g) =

Z b

a

g(t)e^iλntdt Alors :

|ln(g)| ≤ Z b

a

|g(t)|dt =kgk1

Doncklnk ≤1.

PourI:= [u, v]⊂[a, b], on a : ln(1^I) =

Z v

u

e^iλntdt

=e^iλnv−e^iλnu iλn

Donc :

|l_n(1I)| ≤ 2

|λn| etl_n(1I)→ ∞ 1

Or les 1^I forment une partie totale de L¹([a, b]) et sup

n≥1

klnk ≤ 1 < ∞, donc d’après le lemme suivant,l_n(g)→ ∞ ∀g∈L¹([a, b]).

Lemme.

Soit(T_n)_n∈N∈ L(E, F)etB une partie totale deE, oùE etF sont des espaces de Banach.

Il y a équivalence entre :

(i) ∀b∈B, T_n(b)→T(b)et sup

n≥1

kT_nk<∞

(ii) ∀x∈E, Tn(x)→T(x) Démonstration.

(ii)⇒(i) : ∀x∈E,kTn(x)kest borné donc par Banach-Steinhaus, sup

n≥1

kTnk < ∞.

(i)⇒(ii) : ∀x∈vectB, Tn(x)→T(x).

Soitx∈E, ε >0, alors il existey∈vectB tel quekx−yk< ε.

Alors, en posantC:= sup

n≥1

kTnk, on a :

kTn(x)−T(x)k ≤ kTn(x)−T_n(y)k+kTn(y)−T(y)k+kT(y)−T(x)k

≤2Ckx−yk+kTn(y)−T(y)k

≤2Cε+kT_n(y)−T(y)k D’où :

lim sup

n→∞

kTn(x)−T(x)k= 0

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