Lemme de Gronwall
Gourdon, Analyse, page 371
Lemme de Gronwall : Soient ϕ, ψ et y trois fonctions continues sur un segment [a, b], à valeurs positives et vériant l'inégalité
∀t∈[a, b], y(t)≤ϕ(t) + Z t
a
ψ(s)y(s)ds Alors
∀t∈[a, b], y(t)≤ϕ(t) + Z t
a
ϕ(s)ψ(s) exp µZ t
s
ψ(u)du
¶ ds
PosonsF(t) = Z t
a
ψ(s)y(s)ds. En multipliant les deux membres de l'inégalité donnée en hypothèse parψ(t), on obtient
F0t)−ψ(t)≤ϕ(t)ψ(t) , ce qui s'écrit aussi
G0(t)≤ϕ(t)ψ(t) exp µ
− Z t
a
ψ(s)ds
¶
avecG(t) =F(t) exp µ
− Z t
a
ψ(s)ds
¶
CommeG(a) =F(a) = 0, on en déduit, par intégration G(t)≤
Z t
a
ϕ(s)ψ(s) exp µ
− Z s
a
ψ(u)du
¶ ds Or par hypothèse, y(t)≤ϕ(t) +G(t) exp
µZ t
a
ψ(s)ds
¶
, d'où le résultat en utilisant l'inégalité ci-dessus.
Corollaire 1 : Soientψet y: [a, b]→R+ deux fonctions continues vériant
∃c≥0/ ∀t∈[a, b], y(t)≤c+ Z t
a
ψ(s)y(s)ds Alors
∀t∈[a, b], y(t)≤cexp µZ t
a
ψ(s)ds
¶
Il s'agit du lemme de Gronwall dans le cas particulier où ϕ est contante égale à c, on a donc pour tout t∈[a, b],
y(t)≤c+ Z t
a
cψ(s) exp µZ t
s
ψ(u)du
¶
ds=c+c
·
−exp µZ t
s
ψ(u)du
¶¸t a
=cexp µZ t
a
ψ(s)ds
¶
Corollaire 2 : Soit y: [a, b]→Rn une fonction de classeC1vériant
∃α >0,∃β≥0,∀t∈[a, b], ky0(t)k ≤β+αky(t)k Alors,
∀t∈[a, b], ky(t)k ≤ |y(a)keα(t−a)+β α
³
eα(t−a)−1
´
Il sut d'écrire, pour toutt∈[a, b],
ky(t)k ≤ ky(a)k+ky(t)−y(a)k ≤ ky(a) + Z t
a
ky0(t)k ≤ ky(a)k+β(t−a) +α Z t
a
ky(s)kds puis on applique le lemme de Gronwall et on conlut en intégrant par parties.
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