Énoncé
Ce texte porte sur un modéle probabilisé d'une succession d'expériences
1.
On dispose initialement d'une éprouvette contenant un certain nombre N de bactéries de deux types A et B. On place ces bactéries en culture où elles proliférent tout en conservant la proportion des types A et B. On en prélève alors N que l'on place en culture. On réitère plusieurs fois la séquence prélèvement-culture en prélevant toujours le même nombre N de bactéries.
Partie I. Calcul matriciel
Dans cette partie, on considère les matrices
M =
27 8 1 0
0 12 6 0
0 6 12 0
0 1 8 27
, A = 1 27 M.
On désigne par E
λl'ensemble des colonnes X ∈ M
4,1( R ) telles que M X = λ X . 1. Diagonalisabilité de M .
a. Discuter suivant le réel λ du rang de la matrice M − λI
4.
b. En déduire que, dans M
4( R ) , il existe D diagonale (à préciser) et P inversible (que l'on ne précisera que dans la question suivante) telles que M = P D P
−1. 2. Diagonalisation de M .
En formant des systèmes d'équations linéaires, calculer des bases de E
27, E
18, E
6. En déduire, suivant votre choix de D , une matrice P telle que M = P D P
−1. 3. Puissances de A .
a. Pour n ∈ N, exprimer A
nà l'aide de P et d'une matrice diagonale.
b. Préciser seulement la deuxième colonne de A
n.
c. En considérant chaque coecient de A
ncomme une suite en n , justier que ces suites sont convergentes. On convient d'appeler limite de la suite des A
nla matrice formée par ces limites. Quelle est cette limite matricielle ?
1D'après HEC 1997 ECS, maths 2
Partie II. Espace probabilisé.
Dans cette partie N est un entier naturel xé représentant le nombre de bactéries d'un prélèvement et I = J 0, N K. On note n ∈ N
∗le nombre fois où la séquence prélèvement- culture est eectuée et Ω
n= J 0, N K
n
= I
n.
Si on regarde ω ∈ Ω
ncomme un n -uplet (ω
1, · · · , ω
n) , alors ω
k∈ J 0, N K = I désigne le nombre de bactéries de type A parmi les N prélevées au k -ième prélèvement.
On peut aussi regarder ω comme un chemin de longueur n partant de la racine dans un arbre orienté pour lequel N + 1 arêtes partent d'un n÷ud. Chaque arête étant associée à un prélèvement, elle est étiquetée par le nombre de bactéries de type A parmi les N prélevées.
Chaque n÷ud, à part le n÷ud racine qui n'est pas une extrémité, porte la même étiquette que l'arête dont il est l'extrémité.
Le n÷ud racine porte l'étiquette i
0∈ I qui représente aussi le nombre de bactéries du type A parmi les N de l'éprouvette initiale.
On introduit la notation suivante
∀(i, j) ∈ J 0, N K
2
, a(i, j) = N
i j N
i1 − j
N
N−i1. Exemple. Dessiner l'arbre étiqueté dans le cas où N = 3 et n = 2 . 2. Dénombrement
Soit N un entier naturel xé, E un ensemble ni de cardinal e et A une partie de E de cardinal a avec N < a .
a. Soit j ∈ J 0, N K. Quel est le nombre de parties de E à N éléments ? Quel est le nombre de parties de E à N éléments et dont j exactement appartiennent à A ? b. Dans les conditions de la question précédente, exprimer le quotient du nombre de
parties avec j éléments dans A sur le nombre total de parties en fonction d'un coecient du binôme et de
kepour des entiers k dans J 1, N K. On note c(N, j, e, a) ce nombre.
c. Soit p ∈ [0, 1] , N et j xés. On suppose que a dépend de e de telle sorte que
aetende vers p lorsque e tend vers +∞ . Quelle est la limite de c(N, j, e, a) considérée comme une suite en e ?
3. Probabilité.
Pour k ∈ J 1, n K et (ω
1, · · · , ω
k) ∈ I
k, on note Ω(ω
1, · · · , ω
k) l'ensemble des n -uplets d`éléments de I qui commencent par (ω
1, · · · , ω
k) .
(i
1, · · · , i
n) ∈ Ω(ω
1, · · · , ω
k) ⇔ i
1= ω
1, · · · , i
k= ω
kL'espace I
nest probabilisé par une fonction de probabilité P dénie par les formules suivantes.
∀i
1∈ I, P (Ω(i
1)) = a(i
1, i
0)
∀k ∈ J 2, n K , ∀(i
1, · · · , i
k) ∈ I
k, P
Ω(i1,···,ik−1)(Ω(i
1, · · · , i
k)) = a(i
k, i
k−1) On peut remarquer que la dernière relation fait intervenir une probabilité condition- nelle.
a. Justier le choix de cette dénition.
b. Pour k ∈ J 1, n K et i ∈ I , on dénit l'événement X (k, i) par (i
1, · · · , i
n) ∈ X (k, j) ⇔ i
k= i Montrer que, pour tout k ∈ J 2, n K et tout i ∈ I ,
P (X(k, i)) =
N
X
j=0
a(i, j) P (X (k − 1, j))
c. Dénir des matrices colonnes X
ket une matrice carrée A (préciser le nombre de lignes) permettant d'exprimer les relations de la question précédente avec un produit matriciel. Que peut-on en déduire sur la matrice colonne X
k?
4. Espérances.
Pour k ∈ J 1, n K, on note
e
k=
N
X
i=0
i P (X (k, i)), e
0k=
N
X
i=0
i(N − i) P (X(k, i))
a. Calculer, pour j ∈ I ,
N
X
i=0
i a(i, j),
N
X
i=0
i(N − i) a(i, j)
b. Montrer que pour tous les k entre 1 et n ,
e
k= i
0, e
0k=
N − 1 N
ki
0(N − i
0)
5. Inégalités.
Pour k ∈ J 1, n K, on note u
k= P (X(k, 0)) + P (X (k, N)) et v
k= 1 − u
k. a. Montrer que la suite (u
n)
n∈N∗est croissante et convergente.
b. Montrer que v
n≤
N−11e
0n. 6. Limites.
a. Montrer que les suites ( P (X(n, i))
n∈N∗
convergent vers 0 pour i ∈ J 1, N − 1 K.
b. Montrer que les suites ( P (X (n, 0))
n∈N∗
et ( P (X (n, N))
n∈N∗
convergent et préciser leurs limites.
c. Quel est l'eet probable de la répétition un grand nombre de fois de l'expérience citée au début.
7. Temps de séparation.
On introduit des événements C
n(continue) et S
n(stoppe) :
C
n: après l'expérience n , les deux types de bactéries sont présents.
S
n: après l'expérience n , l'éprouvette ne contient qu'un seul type de bactéries alors que les deux types guraient avant.
On note w
n= P (S
n) en convenant que w
0= 0 car initialement l'éprouvette contient les deux types de bactéries. On s'intéresse à la suite (t
n)
n∈N∗avec
t
n=
n
X
k=1
kw
ka. Pour k ≥ 1 , exprimer w
ken fonction de certaines valeurs de la suite des v
ide la question 5.
b. Montrer que
∀n ∈ N
∗, t
n= −nv
n+
n−1
X
k=0
v
kc. Montrer que (t
n)
n∈N∗
est convergente. On note t sa limite.
Sans chercher à calculer t , montrer que
t ≤ i
0(N − i
0) N
N − 1
Corrigé
Partie I. Calcul matriciel.
1. Diagonalisabilité de M .
a. Pour discuter du rang de M − λI
4, on transforme cette matrice par une suite d'opérations élémentaires en une matrice triangulaire équivalente donc de même rang.
M − λI
4=
27 − λ 8 1 0
0 12 − λ 6 0
0 6 12 − λ 0
0 1 8 27 − λ
27 − λ 8 1 0
0 1 8 27 − λ
0 6 12 − λ 0
0 12 − λ 6 0
échanger L
2et L
4
27 − λ 0 1 8
0 27 − λ 8 1
0 0 12 − λ 6
0 0 6 12 − λ
échanger C
2et C
4
27 − λ 0 9 8
0 27 − λ 9 1
0 0 18 − λ 6
0 0 18 − λ 12 − λ
C
3← C
3+ C
4
27 − λ 0 9 8
0 27 − λ 9 1
0 0 18 − λ 6
0 0 0 6 − λ
L
4← L
4+ L
3On en déduit le tableau des rangs suivant les valeurs de λ : λ ∈ {27, / 18, 12} 27 18 6
rang 4 2 3 3
b. Comme le rang de M − 27I
4est 2 , son noyau est aussi de rang 2 donc il existe une famille libre de colonnes (X
1, X
2) telles que M X
1= 27X
1et M X
2= 27X
2.
Pour 18 et 12 le rang est 3 donc la matrice n'est pas inversible et il existe des colonnes X
3et X
4telles que M X
3= 18X
3et M X
14 = 12X
4.
Dans ces conditions, si P est la matrice dont les colonnes sont X
1, X
2, X
3, X
4, elle est inversible et, par dénition des X
i,
D = P
−1M P avec D =
27 0 0 0
0 27 0 0
0 0 18 0
0 0 0 12
2. Diagonalisation de M .
Il apparait directement en examinant M que X
1=
1 0 0 0
et X
2=
0 0 0 1
constituent une base de E
27.
Étude de E
18.
x
1x
2x
3x
4
∈ E
18⇔
9x
1+ 8x
2+x
3+ = 0
−6x
2+6x
3= 0 6x
2−6x
3= 0 x
2+8x
3+ 9x
4= 0
⇔
x
1x
2x
3x
4
= x
4
1
−1
−1 1
Étude de E
6.
x
1x
2x
3x
4
∈ E
12⇔
21x
1+ 8x
2+x
3+ = 0 6x
2+6x
3= 0 6x
2−6x
3= 0 x
2+8x
3+ 21x
4= 0
⇔
x
1x
2x
3x
4
= x
4
−1 3
−3 1
D = P
−1M P avec D =
27 0 0 0
0 27 0 0 0 0 18 0
0 0 0 6
et P =
1 0 1 −1
0 0 −1 3 0 0 −1 −3
0 1 1 1
3. Puissances de A .
a. De M = P DP
−1, on tire M
n= P D
nP
−1puis A
n= P∆
nP
−1avec
∆
n=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 (
23)
n0 0 0 0 (
2)
n
b. On cherche la deuxième colonne de A
n:
C
2(A
n) = P∆
nC
2(P
−1) avec P
−1=
1
23 130 0
13 231 0 −
12−
120 0
16−
160
obtenu en résolvant le système A
x
1x
2x
3x
4
=
y
1y
2y
3y
4
. On en déduit
C
2(A
n) = P∆
n
2 3 1 3
−
121 6
= P
2 3 1 3
−
12(
23)
n1 6
(
29)
n
=
2
3
−
12(
23)
n−
16(
29)
n1
2
(
23)
n+
12(
29)
n1
2
(
23)
n−
12(
29)
n1
3
−
12(
23)
n+
16(
29)
n
c. Chaque coecient de A
nest une combinaison linéaire de suites constantes et de suites géométriques de raison
23ou
29. Toutes ces suites sont convergentes donc chaque coecient, considéré comme une suite en n converge. Les limites s'obtiennent en remplaçant les suites géométriques par leur limite 0 . Il est plus commode de le faire au niveau matriciel. La limite matricielle est
1 0 1 −1
0 0 −1 3 0 0 −1 −3
0 1 1 1
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
23 130 0
13 231 0 −
12−
120 0
16−
160
=
1 0 1 −1
0 0 −1 3 0 0 −1 −3
0 1 1 1
1
23 130 0
13 231 0 0 0 0 0 0 0 0
=
1
23 130 0 0 0 0 0 0 0 0 0
13 231
Partie II. Espace probabilisé.
1. Exemple.
2. Dénombrement.
a. Le nombre de parties de E à N éléments est
Ne(résultat de cours). Pour calculer le nombre de parties X à N éléments dont j appartiennent à A , on classe les X suivant l'ensemble X ∩ A de ces j éléments. Pour une partie xée à j éléments de A , il existe autant de parties X que de parties à N − j éléments dans E \ A . On en déduit
nombre de parties X à N éléments dont j appartiennent à A = a
j
e − a N − j
b. En utilisant l'expression des coecients du binôme avec un quotient de produits :
c(N, j, e, a) =
jfacteurs
z }| { a(a − 1) · · ·
j!
N−jfacteurs
z }| { (e − a)(e − a − 1) · · ·
(N − j)!
N!
e(e − 1) · · ·
| {z }
Nfacteurs
On fait apparaitre un coecient du binôme et on simplie par e
N.
c(N, j, e, a) = N
j
jfacteurs
z }| { a
e ( a e − 1
e )( a e − 2
e ) · · · ×
N−jfacteurs
z }| {
(1 − a e )(1 − a
e − 1 e )(1 − a
e − 2 e ) · · · 1(1 − 1
e ) · · ·
| {z }
Nfacteurs
c. Pour p ∈ [0, 1] , N et j ≤ N xés, on a aussi N − j ≤ N donc les hypothèses entrainent, pour e en +∞ , la convergence des suites
( a
e ) → p, ( k
e ) → 0∀k ∈ J 1, N J (c(N, j, e, a))
e∈N∗→ N
j
p
j(1 − p)
N−j3. Probabilité.
a. Après la mise en culture, l'éprouvette initiale contient un très grand nombre e de bactéries dont un très grand nombre a du type A. De plus, la proportion de bactéries de type A est conservée soit
ae=
iN0= p . Le prélèvement de N bactéries est modélisé par la question 2 et on peut approcher la probabilité d'en obtenir i
1du type A par
P (Ω(i
1)) = N
i i
0N
i11 − i
0N
N−i1= a(i
0, i
1)
La probabilité conditionnelle de Ω(i
1, · · · , i
k) sachant Ω(i
1, · · · , i
k−1) ne dépend en fait que de la situation après le prélèvement k − 1 , à cause de la prolifération, on se retrouve comme pour le premier prélèvement maisn avec une concentration initiale de i
k−1d'où la formule.
b. On décompose l'événement X (k, i) en évéments élémentaires que l'on regroupe selon le résultat de l'expérience k − 1
P (X(k, i)) = X
(i1,···,ik−1)∈Ik−1
P (Ω(i
1, · · · , i
k−1, i))
=
N
X
j=0
X
(i1,···,ik−2)∈Ik−2
P (Ω(i
1, · · · , i
k−2, j, i))
=
N
X
j=0
X
(i1,···,ik−2)∈Ik−2
P (Ω(i
1, · · · , i
k−2, j))a(i, j)
=
N
X
j=0
a(i, j)
X
(i1,···,ik−2)∈Ik−2
P (Ω(i
1, · · · , i
k−2, j))
=
N
X
j=0
a(i, j) P (X(k−1, j))
c. Pour les matrices X
k∈ M
N+1,1et A ∈ M
N+1X
k=
P (X (k, 0) P (X (k, 0)
...
P (X (k, N)
, A =
a(0, 0) a(0, 1) · · · a(0, N ) a(1, 0) a(1, 1) · · · a(1, N )
a(N, 0) a(N, 1) · · · a(N, N )
,
X
k= AX
k−1⇒ X
k= A
k
0 ...
1 ...
0
( le 1 placé en ligne i
0) = C
i0(A
k)
4. Espérances.
a. On utilise les relations
i N
i
= N
N − 1 i − 1
i(N − i) N
i
= N(N − 1) N − 2
i − 1
On élimine les termes dont la contribution est nulle
N
X
i=0
i a(i, j) = N j N
N
X
i=1
N − 1 i − 1
j N
i−11 − j
N
N−1−(i−1)| {z }
=1
= j
N
X
i=0
i(N − i) a(i, j)
= N(N − 1) j N
1 − j
N
N−1X
i=1
N − 2 i − 1
j N
i−11 − j
N
N−2−(i−1)| {z }
=1
= N − 1
N j(N − j) b. Par dénition de la situation initiale : e
0= i
0. Montrons que e
k= e
k−1en utilisant
3.b. et en permutant des sommations :
e
k=
N
X
i=0
i
N
X
j=0
ia(i, j) P (X (k − 1, j)) =
N
X
j=0 N
X
i=0
ia(i, j)
!
P (X (k − 1, j))
=
N
X
j=0
j P (X(k − 1, j)) = e
k−1Le calcul est analogue pour e
0kavec une multiplication par un facteur constant
e
0k=
N
X
i=0 N
X
j=0
i(N − i)a(i, j) P (X (k − 1, j))
=
N
X
j=0 N
X
i=0
i(N − i)a(i, j)
!
P (X (k − 1, j))
= N − 1 N
N
X
j=0
j(N − j ) P (X (k − 1, j)) = N − 1
N e
0k−1De plus, e
0i0= i
0(N − i
0) , on en déduit
e
0k=
N − 1 N
ki
0(N − i
0)
5. Inégalités.
a. Lorsqu'un prélèvement ne contient plus qu'une sorte de bactéries, la situation ne peut plus changer ; tous les prélèvements suivants ne contiendront que ce type de bactéries. Cela se traduit par une inclusion
X(k − 1, 0) ∪ X(k − 1, N) ⊂ X (k, 0) ∪ X (k, N )
⇒ u
k−1= P (X (k − 1, 0) ∪ X (k − 1, N)) ≤ u
k= P (X (k, 0) ∪ X (k, N)) La suite (u
k)
k∈Nest croissante et majorée par 1 (probabilités), elle est conver- gente.
b. La probabilité que les deux types soient présents après le prélèvement n est v
n. On peut utiliser v
npour minorer v
0n.
v
n=
N−1
X
i=1
P (X(n, i)), e
0n =
N−1
X
i=1
i(N − i) P (X(n, i))
La fonction x 7→ x(N − x) dans [0, N ] est positive, nulle seulement en 0 et N , croissante dans [0,
N2] , décroissante dans [
N2, N] . On en déduit que i(N − i) ≥ 1(N − 1) pour i entre 1 et N − 1 d'où
e
0n≥
N−1
X
i=1
1(N − 1) P (X(n, i)) = (N − 1)v
n⇒ v
n≤ 1 N − 1 e
0n6. Limites.
a. Pour i ∈ J 1, N − 1 K, P (X(n, i)) ≤ v
nqui converge vers 0 car, d'après les questions 4.b. et 5.b., elle est majorée par une suite géométrique convergente
0 ≤ v
n≤
N − 1 N
ni
0(N − i
0) N
b. De la convergence de v
nvers 0 , on déduit celle de u
nvers 1 . Pour préciser les limites de chaque terme, on utilise
i
0= e
n=
N
X
i=1
i P (X (n, i))
On sait que toutes les suites de la somme (sauf celle des p(X(n, i)) ) convergent vers 0 . On en déduit que celle ci converge aussi avec
( P (X (n, i)))
n∈N3
→ i
0N
c'est à dire la proportion initiale des bactéries de type A. Comme la somme des deux suites converge vers 1, on a aussi
( P (X (n, i)))
n∈N3
→ 1 − i
0N
c. La répétition de l'expérience conduit donc à séparer les deux types de bactéries.
La probabilité de se retrouver avec un seul type est proche de la concentration initiale des bactéries de ce type.
7. Temps de séparation.
a. L'évément C
nest aussi le complémentaire de X (n, 0) ∪ X(n, N) donc P (C
n) = v
n. De plus C
n−1se décompose en deux événements disjoints suivant le résultat du prélévement n :
C
n−1= C
n∩ S
n⇒ w
n= v
n−1− v
nb. On eectue une transformation d'Abel sur l'expression de t
nt
n=
n
X
k=1
k(v
k−1− v
k) = 1v
0+
n−1
X
k=1
(k + 1 − k)v
k− nv
n= −nv
n+
n−1
X
k=0
v
kc. On sait que v
nest majorée par une suite géométrique de raison
N−1N< 1 . La suite des nv
nconverge donc vers 0 et la somme des v
ncomme celle des t
nconverge car elle est croissante et majorée. Par passage à la limite dans les inégalités :
t ≤ i
0(N − i
0) N − 1
n−1
X
k=0
