Partie I - Calcul de la somme d’une série

MATHÉMATIQUES I

Avertissement

Les trois parties sont indépendantes. Le résultat final de la Partie I fournit une valeur particulière de la fonction étudiée dans les parties II et III.

Partie I - Calcul de la somme d’une série

I.A -

I.A.1) Calculer, sous forme trigonométrique réelle, les coefficients de Fourier de la fonction -périodique impaire : , nulle en et , et égale à sur . Pour tout entier , expliciter la somme partielle de Fourier de

.

I.A.2) Que peut-on dire de la suite de fonctions ? En déduire la valeur de

. I.A.3) Calculer

. I.B -

I.B.1) Préciser le domaine d’existence dans de .

Exprimer à l’aide de fonctions usuelles.

I.B.2) Calculer l’intégrale . I.B.3) En déduire la valeur de

.

2π f IR→IR 0 π 1

]0,π[ n≥0 S_nf

f

S_nf

( )

S (–1)ⁿ 2n+1 ---

n=0

∞

∑

=

S₁ 1

2n+1

( )²

---

n=0

∞

∑

=

IR L x( ) x²ⁿ

n+1 ---

n=0

∞

∑

= L x( )

I ln(1–x²) x² --- dx

0

∫

=

S ---1

∞

∑

=

Filière MP

I.B.4) Exprimer

en fonction de et . En déduire la valeur de .

* * *

Dans toute la suite, on utilise les notations qui suivent :

• Pour tout réel , désigne le logarithme népérien de .

• Si est un réel strictement positif et si , où , est un com-

plexe, on note .

• On définit la fonction par .

Pour tout complexe tel que la fonction est intégrable sur , on pose

.

On définit ainsi une fonction de la variable complexe ; on notera encore, par extension, la fonction de deux variables réelles associée.

Ainsi, pour , .

Le but du problème est d’étudier la fonction .

Partie II - Étude locale de

II.A - Montrer que le domaine de définition de est . On pose .

II.B - Déterminer la limite de quand la partie réelle de tend vers .

S₃= 1

n n 1 2---

⎝ – ⎠

⎛ ⎞² ---

n=1

∞

∑

S₁ S₂ S₃

t>0 lnt t

t z = x iy+ (x y, )∈IR²

t^z = exp(z lnt) p : ]0,1[→IR p t( ) lnt⋅ln 1( –t)

---t

=

z tat^–zp t( ) ]0 1[,

F z( ) t^–zp t( )dt

0

∫

=

F z

F x y,

( )∈IR² F x y( , ) = F x iy( + ) F

F

F Ω = {z/z∈CI,Re z( )<1} I = Ω∩IR = ]–∞,1[

F z( ) z –∞

II.C -

II.C.1) Déterminer la limite de quand le réel tend vers . II.C.2) Pour tout , on pose

. Calculer .

II.C.3) Prouver que la limite de , quand tend vers , existe et est finie.

II.C.4) En déduire la limite de quand tend vers .

II.D - Montrer que la restriction de à est . Pour tout , donner l’expression de la dérivée sous forme intégrale.

II.E -

II.E.1) Établir que est de classe sur . Si et sont deux entiers et si , exprimer la dérivée partielle

sous la forme d’une intégrale.

II.E.2) Comparer et .

II.E.3) Évaluer .

II.F -

II.F.1) Soient et une suite de points de , distincts de , qui converge vers . Prouver l’existence de

.

On pourra utiliser la continuité de et de , ainsi que le résultat de II.E.2.

On observera que cette limite ne dépend que de , et non de la suite . Par la suite, on note cette limite.

On définit ainsi une application : .

II.F.2) Pour tout entier , démontrer l’existence de l’application

: . On convient que .

F x( ) x∈I 1

x∈I G x( ) t^–xlntdt

0

∫

= G x( )

F x( )–G x( ) x∈I 1 F x( )

G x( )

--- x∈I 1

F I C^∞ x∈I

k–ième F^{( )k}( )x

F C^∞ Ω k l ≥0

z∈Ω

∂^{k l+} F

∂x^k∂y^l ---( )z

∂F

---∂x ∂F

---∂y

∂²F

∂x²

--- ∂²F

∂y² --- +

z∈Ω (z_n) Ω z

z F z( _n)–F z( )

z_n–z ---

nlim→∞

∂F

---∂x ∂F

---∂y

z (z_n)

DF z( )

DF Ω→CI k≥2

D^kF = D D( ^k–1F) Ω→CI D¹F = DF

II.G -

II.G.1) Pour tout réel , développer en série entière de la fonction . Préciser le rayon de convergence.

II.G.2) Établir qu’au voisinage de ,

où . (1)

II.G.3) Quel est le rayon de convergence de la série entière (1) ? II.H -

II.H.1) Déterminer un équivalent de quand . II.H.2) Quelle est la nature de la série (1) quand ?

Partie III - Développements en série

III.A -

III.A.1) Développer en série entière de la fonction . Préciser le rayon de convergence.

III.A.2) Pour tout entier et tout , calculer .

III.A.3) Démontrer que .

III.B -

III.B.1) Pour tout , exprimer

sous forme d’une série ne faisant plus intervenir d’intégrale. Préciser . III.B.2) Déterminer un équivalent de quand tend vers . III.C -

III.C.1) Si , on pose . Les fonctions et sont-elles intégrables sur ? Préciser la valeur de

.

t>0 u

u∈CI →t^–u

0

F z( ) c_kz^k

k=0

∞

∑

= c_k 1

k!--- (–lnt)^k

0

∫

=

R

c_k k→∞

z = R

t∈IR t ln(1–t)

---t

→

n≥0 z∈Ω u_n( )z t^{n z–}

0

∫

= lnt dt

F z( ) 1

n n z( – )² ---

n=1

∞

∑

=

x∈I φ( )x F u( )

–∞

∫

= du

φ( )0 φ( )x x∈I 1

y∈IR H y( ) = F iy( ) H H²

IR H y( )dy

–∞

∫

III.C.2) Pour quelles valeurs des réels et , la somme est-elle finie ?

III.C.3) Si

,

où et sont des entiers , calculer . En déduire la valeur de sous la forme .

III.D -

III.D.1) Démontrer que la série de fonctions obtenue en III.A.3 converge sur un domaine de que l’on précisera. On note encore le prolongement de à

. Prouver que est de classe sur .

III.D.2) Soient un réel, un entier , et deux complexes dont les parties réelles sont majorées par . Pour tout entier , majorer

en fonction de , , et .

III.D.3) Avec les notations de II.F.1 et II.F.2, pour tout entier et tout , établir l’existence de qu’on exprimera sous forme de somme d’une série.

III.E -

III.E.1) Pour tout entier , évaluer , défini en II.G.2, sous forme de somme d’une série numérique.

III.E.2) Retrouver, à l’aide du III.E.1, le résultat obtenu en II.H.1.

••• FIN •••

α β S(α β, ) (mn)^–α(m n+ )^–β

m n,

∑

=

K_{m n,} (y im+ )^–2(y in– )^–2dy

–∞

∫

=

m n ≥1 K_{m n,}

1

4π--- H y( )²dy

–∞

∫

Ω˜ CI F F

Ω˜ F C^∞ Ω˜

p n₀ >0 z z′

n₀ n n> ₀

z′–n

( )^–p–(z n– )^–p n n₀ p z′–z

k≥1

z∈Ω˜ D^kF z( )

k≥0 c_k