Intégrale d’une fonction
Partie A : Notions préalables
1. Une somme utile : Démontrer que pour tout entier natureln, Xn
k=0
k2= n(n+ 1) (2n+ 1)
6 .En déduire que Xn k=0
µk n
¶2
= (n+ 1) (2n+ 1) 6n 2. Etude d’une fonction en escalier
On considère la fonctionf définie sur[−2; 3]par :
∀x∈
∙
−2;−1 2
∙
, f(x) = 1
∀x∈
∙
−1 2; 2
∙
, f(x) = 7 2
∀x∈[2; 3], f(x) = 1 4.
Tracer la courbe def,et déterminer l’aire de la portion de plan comprise entre la courbe def,l’axe(Ox),la droitex=−2 et la droitex= 3.
Partie B :
On étudie cette fois la courbe de la fonctionf(x) =x2sur l’intervalle[0; 1],et on cherche à déterminer l’aireAde la portion de plan comprise entre la courbe def,l’axe (Ox),la droitex= 0et la droitex= 1.
1. On partage l’intervalle[0; 1] en quatre intervalles de même amplitude comme l’indique lafigure 1. L’aire recherchée est don encadrée par deux aires. Montrer ainsi que 7
32 ≤A≤15 32.
2. On partage cette fois l’intervalle[0; 1]en n intervalles de même amplitude.
2.1. Montrer que 1 n
à 0 + 1
n2 + 4
n2 +· · ·+
µn−1 n
¶2!
≤A≤1 n
à 1 n2 + 4
n2 +· · ·+
µn−1 n
¶2
+ 1
!
Double inégalité qui s’écrit plus simplement à l’aide de sigmas : 1 n
n−1
X
k=0
µk n
¶2
≤A≤1 n
Xn k=1
µk n
¶2
On notera (un)la suite définie parun= 1 n
à 0 + 1
n2 + 4
n2+· · ·+
µn−1 n
¶2!
, c’est à direun= 1 n
n−1
X
k=0
µk n
¶2
On notera (vn)la suite définie parvn= 1 n
à 1 n2 + 4
n2 +· · ·+
µn−1 n
¶2
+ 1
!
c’est à dire vn= 1 n
Xn
k=1
µk n
¶2
2.2. Montrer que la suite (un)est croissante. Pourquoi était-ce graphiquement prévisible ?
2.3. On admettra, simple gain de sueur, que(vn)est décroissante. Montrer que ces deux suites sont adjacentes.
2.4. Que peut on en conclure en ce qui concerneAd’une part et leurs limites d’autre part ? 2.5. Que vaut alorsA?
1 O
x
1
