Partie 1 : intégrale d’une fonction

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Chap.10 :

INTEGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE ET POSITIVE

Partie 1 : intégrale d’une fonction

Définition : soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, F une primitive de f sur I, et . On appelle intégrale de a à b de f le nombre réel .

On note : .

Remarques : Le nombre ne dépend pas de la primitive F choisie.

La variable x dans est dite muette. On peut la remplacer par t, u, …

On a alors : …

Exemples : Calculer les intégrales suivantes :

1) !^"_$^#%_'(^& =^&_$^#−^('()_$ ^# =^-(_$ −⁽_$=^-._$ = 20

2) !^"_&¹− 𝑥³+ 𝑥%³_.= 5³_&¹− 2³+ 26 − 5^._&¹− 0³+ 06 =^-_&− 4 + 2 = ³_&

3) [4 ln 𝑥]³₍ = 4 ln 2 − 4 ln 1 = 4 ln 2

4) ∫ sin 𝑡 𝑑𝑡 =_C^&C [− cos 𝑡]^&C_C = (− cos 3𝜋) − (− cos 𝜋) = − cos 3𝜋 + cos 𝜋 = −(−1) + (−1) = −2 Interprétation géométrique de l’intégrale :

Soit f une fonction dérivable et positive sur un intervalle [a ; b].

L’aire de la partie du plan délimitée par la courbe représentative de la fonction f, l’axe des abscisses et les droites

d’équations et est .

Remarques : L’aire dépend des unités graphiques choisies pour construire la courbe.

L’aire est ainsi donnée en unité d’aire (notée u.a.).

Dans un repère orthogonal (O ; ; ), l’unité d’aire u.a.

est l’aire du rectangle défini par les vecteurs et .

I

aÎ bÎI )

( )

(b F a

F - )

( ) ( )]

( [ )

(x dx F x F b F a

f

b a

b

a = -

ò

•

ò

dx x f( )

•

ò

=

=

=

ò ò

ò

ò

= +

ò

2 2 1 )

( x x dx

ò

a

x= x=b ^A=

ò

•

•

• i!

!j i!

!j

a b

O

!f

A

O I

J

i!

!j

1 u.a.

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Exemples : 1) Si les unités sont 1cm en abscisses et 2cm en ordonnées alors 1𝑢𝑎 = 1 × 2 = 2𝑐𝑚³ 2) Si les unités sont 1mm en abscisses et 1cm en ordonnées alors 1𝑢𝑎 = 0,1 ×= 0,1𝑐𝑚³

Remarque : Pour calculer une aire, on commence par calculer A en unités d’aire, puis on calcule la valeur de cette unité d’aire en cm² et on en déduit la valeur de A en cm².

Exemple : On note !f la courbe représentative de la fonction f définie sur IR par : dans un repère orthogonal (O ; ; ). Comme f est positive sur l’intervalle [−1 ; 0], l’aire A délimitée par !f, l’axe des abscisses et les droites d’équation et est donnée en unité d’aire par :

∫ 𝑓(𝑥)_'(^. 𝑑𝑥 = !^"_$^#−^&"₃^O+ 2𝑥%_'(^.

= 5^._$^#− 3 ×^.₃^O+ 2 × 06 − P^('()_$ ^#− 3 ×^('()₃ ^O+ 2 × (−1)Q

= − 5⁽_$−^&₃− 26 = − 5−^(&_$6 =^(&_$ = 3,25

Les unités graphiques sont 2cm en abscisses et 1cm en ordonnées, donner l’aire A en cm² :

1𝑢𝑎 = 1 × 2 = 2𝑐𝑚³ donc l’aire est de 3,25 × 2 = 6,5𝑐𝑚³

Remarque : soit f une fonction dérivable et négative sur un intervalle [a ; b].

L’aire de la partie du plan délimitée par la courbe représentative de la fonction f, l’axe des abscisses et les droites d’équations et est .

Partie 2 : propriétés de l’intégrale

Dans la suite, I désigne un intervalle de IR ; f et g deux fonctions dérivables sur I ; a, b et c trois nombres réels de I.

Propriétés : soient f et 𝑔 deux fonctions dérivables et positives sur un intervalle I. Soient a et b deux nombres réels de I. Soit 𝜆 un nombre réel.

.

Relation de Chasles :

Linéarité de l’intégrale :

et pour tout réel l : .

Positivité de l’intégrale :

Si 𝑎 ≤ 𝑏 alors .

Conséquence de la relation de Chasles :

2 3 )

(x =x³- x+ f

i!

!j

-1

=

x x=0

a

x= x=b ^=-

ò

dx x f

A ( )

0 )

( =

ò

dx x f

ò ò

ò

ò

ò

ò

b a b

a

dx x g x f dx

x g dx x

f( ) ( ) ( ( ) ( ))

ò

ò

b a

dx x f dx

x

f( ) ( )

0 )

( ³

ò

dx x f

ò ò

a b

dx x f dx

x

f( ) ( )

O

!f

I J

A

O a b

A

!f

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Remarque : De même, si f est dérivable et négative sur I et si alors .

Aire de la partie délimitée par deux courbes :

Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle [a ; b] telles que pour tout x dans [a ; b] : .

L’aire en u.a. de la partie du plan délimitée par les courbes

représentatives des fonctions f et g, et les droites d’équations et

est .

Propriété : intégration d’une inégalité

Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Soient a et b deux nombres réels de I.

Si et si pour tout x [a ; b] on a , alors .

Exemple : Déterminer un encadrement de .

On a −1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1 pour tout 𝑥 réel, donc en particulier pour tout 𝑥 ∈ [−2 ; 3]

Donc ∫ −1𝑑𝑥_'3^& ≤ ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥_'3^& ≤ ∫ 1_'3^& 𝑑𝑥 d’où [−𝑥]_'3^& ≤ ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥_'3^& ≤ [𝑥]_'3^&

Ou encore −3 − Z−(−2)[ ≤ ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥_'3^& ≤ 3 − (−2) c’est-à-dire : −5 ≤ ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥_'3^& ≤ 5

Partie 3 : valeur moyenne d’une fonction

Définition : soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Soient a et b deux nombres réels de I tels que . On appelle valeur moyenne de f sur [a ; b] le nombre réel 𝜇 = .

Interprétation géométrique :

Si f est positive sur [a ; b], l’égalité ci-dessus signifie que l’aire sous la courbe entre a et b est égale à l’aire du rectangle.

Exemple : Déterminer la valeur moyenne de la fonction f définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥³ sur l’intervalle [0; 2].

Alors 𝜇 =_3'.⁽ ∫ 𝑥_.^{3 3}𝑑𝑥= ⁽₃!^"_&¹%³_. =⁽₃5³_&¹−^._&¹6 =⁽₃×^-_&=^$_&

Interprétation géométrique : cela signifie que l’aire rouge sous la courbe est la même que l’aire bleue du rectangle de longueur 2 et de hauteur ^$_&.

b

a£

ò

) ( )

(x g x

f £

a x= b

x= ⁼

ò

dx x f x g

A ( ( ) ( ))

b

a£ Î f(x)£g(x)

ò

ò

b a

dx x g dx x

f( ) ( )

ò

b a<

ò

-

b a

dx x a f

b1 ( )

A

O a b

!f

!g

O a b

!f

𝜇