MPSI B Année 2015-2016 DM 17 pour le 02/06/16 29 juin 2019
Ce problème porte sur le résultant de deux polynômes
1Partie I - Dénition et propriétés
Soient p et q deux entiers naturels non nuls. Soient
P =
p
X
k=0
a
kX
ket Q =
q
X
k=0
b
kX
kdeux polynômes de C [X] avec a
p6= 0 , b
q6= 0 .
Le résultant des polynômes P et Q est le nombre complexe noté Res (P, Q) :
Res (P, Q) =
a
0b
0a
1... b
1...
... a
0... b
0a
pa
1a
0... b
1... ... a
1b
q...
a
p... ... ...
a
pb
qC'est un déterminant de q + p colonnes, dont les q premières colonnes représentent les coecients du polynôme P et les p suivantes représentent les coecients du polynôme Q : les positions non remplies étant des zéros.
Par exemple, si P = 1 + 2X + 3X
2et Q = 4 + 5X + 6X
2+ 7X
3,
Res (P, Q) =
1 0 0 4 0 2 1 0 5 4 3 2 1 6 5 0 3 2 7 6 0 0 3 0 7
La matrice servant à dénir Res (P, Q) pourra être notée M
P,Q: Res (P, Q) = det(M
P,Q)
1d'après Concours communs Polytechniques, 2009, MP
On note E = C
q−1[X] × C
p−1[X] et F = C
p+q−1[X] .
Soit u l'application de E vers F dénie pour (A, B) ∈ E par : u(A, B) = P A + QB 1. Cas où u est bijective.
a. Montrer que u est une application linéaire.
b. Montrer que u bijective entraine P et Q premiers entre eux.
c. On suppose P et Q premiers entre eux. Déterminer Ker(u) et en déduire que u est bijective.
2. Matrice de u . On note
B = ((1, 0), (X, 0), . . . , (X
q−1, 0), (0, 1), (0, X), . . . , (0, X
p−1))
une base de E et B
0la base canonique de F
B
0= (1, X, . . . , X
p+q−1) a. Déterminer la matrice de u dans les bases B et B
0.
b. Démontrer que Res (P, Q) 6= 0 si et seulement si P et Q sont premiers entre eux (donc Res (P, Q) = 0 si et seulement si P et Q ont au moins une racine commune complexe).
3. Racine multiple.
a. Démontrer qu'un polynôme P de C [X] admet une racine multiple dans C si et seulement si Res (P, P
0) = 0 .
b. Application : déterminer une condition nécessaire et susante pour que le poly- nôme X
3+ aX + b admette une racine multiple.
Partie II - Applications
1. Équation de Bezout
Dans cette question, on note P = X
4+ X
3+ 1 et Q = X
3− X + 1 .
a. Démontrer, en utilisant la première partie, que les polynômes P et Q sont premiers entre eux.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai M1517EMPSI B Année 2015-2016 DM 17 pour le 02/06/16 29 juin 2019
b. On cherche un couple (A
0, B
0) de polynômes de C [X] tel que P A
0+ QB
0= 1.
Expliquer comment on peut trouver un tel couple en utilisant la matrice de u puis donner un couple solution.
c. Déterminer tous les couples (A, B) de polynômes de C [X ] vériant P A + QB = 1.
On pourra commencer par remarquer que, si (A, B) est un couple solution, alors P(A − A
0) = Q(B
0− B) .
2. Nombre algébrique.
En utilisant les polynômes
P = X
2− 3 et Q
y= (y − X)
2− 7,
déterminer un polynôme à coecients entiers de degré 4 ayant comme racine √ 3 + √
7 . Quelles sont les autres racines de ce polynôme ?
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
![1. a. Soit f : [0, π] → R une fonction continue. Montrer qu'il existe une unique fonction dérivable F : [0, π] → R telle que F 0 = f et Z π](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)