MPSI B Année 2014-2015 DM 16 pour vendredi 05/06/15 29 juin 2019
L'objet de ce problème
1est de donner quelques applications géométriques des matrices de Gram. On se place dans un R-espace vectoriel euclidien de dimension n ≥ 2 noté E . Son produit scalaire est noté ( | ) et la norme associée est notée || || .
Si x
1, x
2, . . . , x
psont p vecteurs de E , on appelle matrice de Gram de x
1, x
2, . . . , x
p, notée G(x
1, x
2, . . . , x
p)
la matrice de M
p( R ) de terme général (x
i|x
j) pour 1 ≤ i ≤ p et 1 ≤ j ≤ p .
G(x
1, x
2, . . . , x
p) =
(x
1|x
1) (x
1|x
2) . . . (x
1|x
p) (x
2|x
1) . . . . .
... . . . . ...
(x
p|x
1) . . . . (x
p|x
p)
Son déterminant est noté
Γ(x
1, x
2, . . . , x
p) = det (G(x
1, x
2, . . . , x
p)) Si A est une matrice de M
p,q( R ) , le noyau de A est par dénition,
ker(A) = {X ∈ M
q,1( R ), AX = 0}
Pour n entier supérieur ou égal à 2 , on note E
nl'espace R
nmuni du produit scalaire canonique à la fois considéré comme espace vectoriel euclidien et espace ane euclidien.
I. Généralités
1. Résultat préliminaire
a. Que peut-on dire d'une matrice Y ∈ M
n,1( R ) vériant
tY Y = 0 ?
b. Si A ∈ M
n,p( R ) , montrer que ker(
tA A) ⊂ ker A . En déduire rg(
tA A) = rg A . 2. On se donne une famille de p vecteurs x
1, x
2, . . . , x
pde E dont la matrice dans une
base orthonormale B = (e
1, e
2, . . . , e
n) est notée A .
Montrer que G(x
1, x
2, . . . , x
p) =
tAA . Quel est le lien entre le rang de la matrice G(x
1, x
2, . . . , x
p) et celui de la famille de vecteurs (x
1, x
2, . . . , x
p) ?
3. Dans toute cette question, on suppose p = n .
a. Caractériser à l'aide du déterminant Γ(x
1, x
2, . . . , x
n) le fait que la famille (x
1, . . . , x
n) est liée.
1d'après concours commune polytechnique lière MP 2006
b. Montrer que (x
1, x
2, . . . , x
n) est libre si et seulement si, Γ(x
1, x
2, . . . , x
n) > 0 . 4. Application.
L'angle géométrique d'un couple (u, v) de vecteurs non nuls de E
nest le réel α ∈ [0, π]
vériant : cos α =
||u||||v||(u,v).
Si A , B , et C sont trois points de E
3situés sur la sphère de centre O et de rayon 1, si on désigne par α , β , et γ l'angle géométrique des couples respectifs ( −→
OA, − − → OB) , ( − − →
OB, − − →
OC ) et ( −→
OA, − − →
OC ) , montrer en utilisant une matrice de GRAM que : 1 + 2 cos α cos β cos γ ≥ cos
2α + cos
2β + cos
2γ.
Que se passe-t-il si les points A , B et C sont sur un même cercle de centre O ? 5. Interprétation géométrique de la matrice de Gram.
a. Si a, b et y sont trois vecteurs de E tels que le vecteur a soit orthogonal à la fois au vecteur b et au vecteur y , trouver une relation entre les déterminants Γ(a + b, y) , Γ(a, y) et Γ(b, y) .
b. Si (x, y) est une famille libre de deux vecteurs de E
2, si F = vect {y} et si z est le projeté orthogonal du vecteur x sur F , montrer que Γ(x, y) = Γ(x − z, y) . c. En déduire que si A , B et C sont trois points non alignés de E
2,
12q
Γ( − − → AB, −→
AC) est l'aire du triangle ABC (donc q
Γ( − − → AB, −→
AC) est l'aire du parallélogramme "formé par A , B et C ").
II. Points équidistants sur une sphère euclidienne
Dans cette partie, m est un entier naturel, m ≥ 2 , et t est un réel, t 6= 1 .
La famille de m vecteurs distincts (x
1, x
2, . . . , x
m) de l'espace E , de dimension n ≥ 2 , est solution du problème P(m, t) si :
tous les vecteurs x
1, x
2, . . . , x
msont de norme 1
pour tout couple (i, j) d'entiers distincts entre et 1 et m, (x
i, x
j) = t.
1. Résultats préliminaires
a. Montrer que si (x
1, x
2, . . . , x
m) est solution du problème P(m, t) alors, pour tout couple (i, j) d'entiers distincts entre 1 et m , ||x
i− x
j|| est constant.
b. Calculer le déterminant de la matrice J + xI
m(où J est le matrice carrée de taille m qui ne contient que des 1)
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai M1416EMPSI B Année 2014-2015 DM 16 pour vendredi 05/06/15 29 juin 2019
c. En déduire que si (x
1, x
2, . . . , x
m) est solution du problème P (m, t) , alors Γ(x
1, x
2, . . . , x
m) = (1 − t)
m−1(1 + (m − 1)t).
2. Conditions nécessaires
a. Montrer que, pour que (x
1, x
2, . . . , x
m) soit une famille libre de vecteurs solution du problème P (m, t) , il est nécessaire que t ∈ i
−1 m−1
, 1 h
et que m ≤ n .
b. Montrer que, pour que (x
1, x
2, . . . , x
m) soit une famille liée de vecteurs solution du problème P (m, t) , il est nécessaire que t =
m−1−1et que m ≤ n + 1 .
(on pourra montrer qu'alors, la famille (x
1, x
2, . . . , x
m−1) est libre).
c. Application. Existe-t-il dans E
3cinq vecteurs distincts qui deux à deux forment un même angle θ ?
3. Exemple du cas n = 2
Déterminer pour m ≥ 3 , s'il existe une famille (A
1, A
2, . . . , A
m) de points de E
2, telle que la famille de vecteurs ( −−→
OA
1, −−→
OA
2, . . . , −−−→
OA
m) soit solution du problème P(m, t) en précisant le couple (m, t) . Lorsqu'une telle famille (A
1, A
2, . . . , A
m) existe, placer ces points sur une gure.
4. Exemple du cas n = 3
On suppose que n = 3 et t ∈
−
12, 1 . On pose a =
q
2−2t 3et b =
q
2t+1 3.
a. Soit u un vecteur unitaire de R
3et H le sous espace supplémentaire orthogonal de vect {u} dans R
3, justier qu'il existe une famille (y
1, y
2, y
3) de vecteurs de H solution du problème P(3, −
12) .
b. Si on pose alors, pour tout i ∈ {1, 2, 3} , x
i= ay
i+ bu , montrer que (x
1, x
2, x
3) est une famille libre de vecteurs solution au problème P (3, t) .
c. Former une condition portant sur α ∈]0, π[ , vériée lorsqu'il existe trois points A
1, A
2, A
3de la sphère de centre O et de rayon 1 de E
3tels que les trois angles géométriques des couples ( −−→
OA
1, −−→
OA
2) , ( −−→
OA
1, −−→
OA
3) et ( −−→
OA
2, −−→
OA
3) soient égaux à α ? (on demande de ne pas utiliser le résultat de la question 4 de la partie I)
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
![1. a. Soit f : [0, π] → R une fonction continue. Montrer qu'il existe une unique fonction dérivable F : [0, π] → R telle que F 0 = f et Z π](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)