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Montrer que u ∈ Z[j]× si et seulement si N(u

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Academic year: 2022

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(1)

Universit´e Bordeaux I - 2011 N1MA5011

Devoir Maison 2

A rendre la semaine du 21 Novembre 2011.

Exercice 1. Soit j ∈Cune racine primitive 3-i`eme de l’unit´e. On pose : Z[j] :={a+bj|a, b∈Z}

Pour tout z ∈C on noteN(z) =zz.

1. Structure d’anneau. (a) Montrer que Z[j] est un sous-anneau de C stable par conjugaison complexe et que Q(j) =Q[j].

(b) Montrer que pourz1, z2 ∈Con a N(z1z2) =N(z1)N(z2).

2. Inversibles. (a) Soit u = a+bj ∈ Z[j]. Montrer que u ∈ Z[j]× si et seulement si N(u) = 1.

(b) Soit u=a+bj ∈Z[j] avec N(u) = 1. Montrer que ab≥0 et que u=±1,±j ou ±(1 +j) (´ecrire N(u) = (a−b)2+ab).

(c) Montrer que Z[j]×={±1,±j,±(1 +j)}.

3. L’anneau est principal. (a) Montrer queN(α+βj)≤α22+|αβ|

pour tousα, β ∈Q.

(b) Soient z1, z2 ∈ Z[j] avec z2 6= 0. Pourquoi existe-t-il r, s∈ Q tels que z1/z2 =r+sj ?

(c) Soient a, b ∈ Z tels que |r −a| ≤ 1/2, |s− b| ≤ 1/2. Posons R=z2(a+bj)−z1. Montrer queN(R)< N(z2).

(d) En d´eduire que Z[j] muni de l’application N : Z[j] → N est un anneau euclidien et qu’il est principal.

4. El´ements irr´eductibles. (a) Soit f ∈Z[j] un ´el´ement irr´eductible.

(i) Montrer que Z∩fZ[j]6={0}.

(ii) En d´eduire qu’il existe un nombre premier p ∈ N tel que Z∩fZ[j] =pZ.

(iii) Montrer que N(f) =p, ou N(f) =p2 etp /∈N(Z[j]).

(b) Soit z ∈Z[j].

(i) Montrer que si N(z) =p alors z est irr´eductible dans Z[j].

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(ii) Supposons N(z) = p2 et p /∈ N(Z[j]). Montrer que z est irr´eductible dans Z[j].

(c) Parmi les ´el´ements 2 +j,2 + 3j,3 + 8j, lesquels sont irr´eductibles dans Z[j] ?

Exercice 2. 1. Les anneaux Z[X, Y]/(2XY −3), Z[X, Y]/(2XY −6) et Q[X, Y]/(2XY −6) sont-ils int`egres ?

2. Quel est le nombre de racines de l’´equation polynomiale a2 = 1 sur A=Z/8Z? sur B =Z/53Z ?

Exercice 3. Soit A := Q[X, Y]/(X2 +Y2 −1). On note s la surjection canonique Q[X, Y]→A et on pose x=s(X), y =s(Y).

1. Montrer que X2 +Y2 −1 est irr´eductible dans Q[Y][X]. En d´eduire que A est int`egre.

2. Montrer que pour tout ´el´ement a de A il existe un unique couple (P(Y), Q(Y))∈Q[Y]2 tel que a=P(y) +xQ(y).

3. Montrer queA/xA est isomorphe `aQ[Y]/(Y2−1).

4. Montrer quex n’est pas premier dans A.

5. Montrer que x est un ´el´ement irr´eductible dans A. (Indication : on pourra remarquer que six= (P(y) +xQ(y)) (R(y) +xS(y)), alorsP = [P2+ (Y2−1)Q2]S.)

6. L’anneau A est-il factoriel?

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