Montrer que i) l’application f 7→f0 est continue

Universit´e Lille 1 Master 1 Recherche

Analyse complexe 3 mars 2016

Feuille 5

Suites de fonctions holomorphes

Exercice 1. Topologie sur H(D)

Soit D un domaine de C. On munit l’espace H(D) des fonctions holomorphes sur D de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact. Montrer que

i) l’application f 7→f⁰ est continue ;

ii) les compacts deH(D) sont exactement les parties ferm´ees et (uniform´ement) born´ees.

Exercice 2. Une somme de s´erie Soit f(z) =

+∞

X

n=0

z²ⁿ 1−z²ⁿ⁺¹.

i) Montrer quef est bien d´efinie et holomorphe sur le disque unit´e ouvert ∆.

ii) On poseg(z) =f(z)−_1−z^z : calculerg(z²). En d´eduire l’expression explicite de f.

Exercice 3. Premier pas vers le th´eor`eme de repr´esentation conforme

Soit Ω un ouvert connexe non dense de C, et a ∈ Ω. On note E l’ensemble des applications f ∈ H(Ω) v´erifiant les conditions suivantes :

1. f est injective ;

2. |f(z)|<1 pour toutz∈Ω ; 3. f(a) = 0.

i) Montrer queE est non vide, et en d´eduire que 0∈ E.

ii) Soitf ∈ E : montrer quef(a) = 0 et|f(z)|<1 pour toutz∈Ω. En d´eduire queE =E ∪{0}.

iii) Montrer queE ∪ {0} est une partie compacte deH(Ω).

Exercice 4. Point fixe

Soit Ω un ouvert born´e non vide deC, etf : Ω→Ω une fonction holomorphe. On suppose que f a un point fixe a∈Ω. On note f^[n] lani`eme it´er´ee de f.

i) Montrer qu’il existe une sous-suite (f^[nk])_k qui converge uniform´ement sur tout compact de Ω. En d´eduire que pour tout l∈N, la suite ((f^[nk])^(l)(a))_k converge.

ii) Montrer `a l’aide de la question pr´ec´edente que |f⁰(a)| ≤1.

iii) On suppose quef⁰(a) = 1. En raisonnant par l’absurde `a partir du d´eveloppement de Taylor de f et de ses it´er´ees, montrer que f = id sur la composante connexe de Ω contenant a.

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Exercice 5. Enveloppe polynomiale Soit K un compact non vide de C.

i) Justifier queC\K n’a qu’une composante connexe non born´ee, not´eeC∞. Soit ˆK :=C\C∞. ii) D´eterminer ˆK pourK ={z | |z|= 1 ou|z|= 2},K ={re^iθ |0≤r≤1, −^3π₄ ≤θ≤ ^3π₄ } et

K ={z | |z+ 1| ≥1, |z−1| ≥1, |z| ≤4}. Le but est de montrer que Kˆ ={a∈C| ∀P ∈C[X], |P(a)| ≤Sup

K

|P|}

iii) Soit a∈K etP ∈C[X] : montrer que |P(a)| ≤Sup

K

|P|.

iv) Montrer que les composantes connexes deC\K sont des ouverts, dont le bord est dansK.

En d´eduire que sia∈Kˆ \K, alors pour tout P ∈C[X] on a|P(a)| ≤Sup

K

|P|.

v) Soit a /∈K.ˆ

(a) Montrer qu’il existe une suite (Pn)n de polynˆomes qui converge uniform´ement sur ˆK vers la fonctionz7→ _z−a¹ .

(b) On poseQ_n(z) = 1−(z−a)P_n(z) : montrer qu’il existe N tel que|Q_n(a)|>Sup

K

|Q_n| d`es que n≥N.

vi) Conclure.

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