Séries de fonctions

(1)

Universit´e Toulouse 2 le Mirail Ann´ee universitaire 2006/2007 L2 MASS. Analyse S4

TD 5. S´eries de fonctions.

Exercice 1 Révision sur les séries numériques 1. Soit a > 0. On note

un(a) =

an

1 + a2n.

´

Etudier la convergence de la s´erie P un(a) selon la valeur de a

2. Soit

uk(x) =

xk

(1 − xk_{)(1 − x}k+1₎.

(a) ´Etudier la convergence de la s´erie P

k>1uk(x) selon les valeurs de x.

(b) Soit x ∈ R\{±1}. Calculer la somme

∞

X

k=0

uk(x). On pourra commencer par montrer

que pour tout k > 1, on a uk(x) = 1 x − 1 1 1 − xk+1 − 1 1 − xk ******************** Exercice 2 Pour tout n ∈ N et pour tout x ∈ R, on note

un(x) =

nx 1 + n3_x2.

1. Montrer que la s´erie P un converge simplement sur R.

2. Pour tout n∈ N, ´etudier la fonction un sur R.

3. En d´eduire que pour tout a > 0, la s´erieP unconverge normalement sur ] − ∞, −a, ] ∪ [a, +∞[.

4. A-t-on convergence normale sur R ?

******************** Exercice 3 Soit (fn) la suite de fonctions d´efinie par

∀n ∈ N∗

, ∀x ∈ R, fn(x) =

sin(nx) n3 .

1. ´Etudier les convergences simples et normales de la s´eries P fn sur R.

2. En d´eduire que la fonction f =X

n>1

fn est continue sur R.

(2)

3. ´Etudier la convergence normale de la s´erie P f0

n sur R.

4. En d´eduire que f est d´_{erivable sur R et donner f}0 sous la forme d’une s´erie. ********************

Exercice 4 Pour tout n ∈ N et pour tout x ∈]0, +∞[, on note fn(x) = e−

√ nx_.

1. Montrer la convergence simple de la s´erie P fn sur ]0, +∞[. On note f sa somme.

2. A-t-on convergence normale de la s´erie P fn sur ]0, +∞[.

3. Soit a > 0. Montrer que la s´erie P fn converge normalement sur [a, +∞[.

4. En d´eduire que f est continue sur ]0, +∞[.

******************** Exercice 5 Pour tout (n, x) ∈ N×] − 1, 1[, on note

fn(x) = xn.

1. Montrer que la s´erie de fonctions P fn converge simplement sur l’intervalle ] − 1, 1[.

Exprimer sa somme f `a l’aide des fonctions usuelles.

2. Montrer que la s´erie P fn converge normalement sur tout intervalle de la forme [−a, a],

pour a ∈]0, 1[.

3. En d´eduire que f est continue sur ] − 1, 1[. 4. Montrer que la s´erie P f0

n est normalement convergente sur [−a, a]. En d´eduire que f est

d´erivable sur ] − 1, 1[, et exprimer f0 sous la forme d’une s´erie.

5. Exprimer la fonction [x → _(1−x)1 2] sous la forme d’une s´erie, puis exprimer la s´erieP nxn,

x ∈] − 1, 1[ `a l’aide des fonctions usuelles.

6. Exprimer la s´erie P xn_{/n, x ∈] − 1, 1[ `}_{a l’aide des fonctions usuelles.}

******************** Exercice 6 Soit f : x 7→ ln x

x − 1.

1. Montrer que f est intégrable en 0. 2. Pour x ∈]0, 1[, calculer I(x) = Z x 0 ln t t − 1dt. 3. En déduire que f est intégrable en 1 et que

Z 1 0 ln t t − 1dt = X k>1 1 k2. ******************** 2

(3)

Exercice 7 Soit (fn)n∈N∗ la suite de fonctions d´efinie sur R+ par

fn(x) =

e−nx n2_{+ 1}.

1. D´eterminer le domaine de d´efinition de la somme f =P+∞

n=0fn.

2. Montrer que f est continue sur son domaine de d´efinition. 3. Montrer que f est d´erivable sur ]0, +∞[.

********************

Exercice 8 On consid`ere la suite de fonctions (fn)n>1 d´efinie sur R par fn(t) = nte−nt

2

. 1. Montrer que pour tout t ∈ R\{0}, la s´erie P e−nt2

converge et calculer sa somme. 2. Soit a > 0. Montrer que la s´erie P fn converge normalement sur le domaine ] − ∞, −a] ∪

[a, +∞[.

3. En d´eduire une expression de P

n>1fn(t) pour tout t 6= 0.

******************** Exercice 9 Soit (un) la suite de fonctions d´efinies sur R+ par

un(x) =

x n(n + x).

1. Montrer que la s´erieP unconverge simplement sur R+ et normalement sur tout intervalle

de la forme [0, A], A > 0.

2. On note U sa somme. Montrer que U est continue sur R+_.

3. On note maintenant

an=

Z 1

0

un(t)dt.

(a) Montrer que la s´erie P an est convergente.

(b) Calculer an.

(c) En d´eduire que la suite (bn) d´efinie par

bn= n X k=1 1 k − log(n + 1) est convergente. 3