MPSI A 2004-2005

MPSI A 2004-2005

Feuille d’exercices

Développements limités

Exercice 1:

1. Calculer le DL à l’orde 3 en 2 de x⁴−x²+1.

2. Calculer les DL à l’ordre 4 en 0 de

(sin x)arg cosh x e^xlog(1+x) cos x√ 1+x.

3. Calculer les DL à l’ordre 3 en 0 des fonctions 1

1+x+x³

1+x 3+x²

log(1+x) sin x

log²(1+x) e^x−1 arctan(x)

1+x arctan(arg tanh x) −log(1−x) 1+arcsin x .

Exercice 2:

1. Calculer les DL au point a>0 à l’ordre n des fonctions

√x log x e^x cos x.

2. Calculer les DL à l’ordre 3 aux points 1 et e^π/2de cos(log x).

Exercice 3: Calculer les limites

x→0lim

cos x+cosh x−2

x⁴ lim

x→π/2

log(sin x) (π−2x)²

x→0lim 1

sin²x− 1

sinh²x lim

x→+∞

µ tanh1

x− 1 cosh x

¶¹

x.

Exercice 4: Calculer les DL en 0 à l’ordre N indiqué des fonctions :

(cos(x+x²))² N=5;

µsin x x

¶¹

x

N=2; x²

√4

1−x N=5;

q 1+p

1+x² N=6

Z _x

0

sint

t dt N=5.

1

Exercice 5: Calculer les DL en 1 à l’ordre N indiqué des fonctions

√x−1

log x (N=3); x^x (N=5); tan x (N=2);

tanπx

4 (N=3); log(1+1

x) (N=3); arctan x (N=4).

Exercice 6: Calculer les 5 premières dérivées en 0 de la fonction ^{log x}_1+x. Exercice 7: Soit n un entier strictement positif.

1. Déterminer le développement limité de x7→ _(1−x)¹ n à l’ordre n−1 en 0. En déduire la décomposition en éléments simples de _Xn(1−X¹ )ⁿ.

2. Soit F= _(Xn¹₋₁₎₂. Calculer le développement limité à l’ordre 1 en 0 de x7→ _(x−1)¹ ₂. En déduire la partie polaire de F relative au pôle 1. En déduire la décomposition en éléments simples de F.

Exercice 8: Calculer la limite des suites suivantes, en discutant éventuellement selon la valeur du paramètre réelα:

µ 1+ 1

n^α

¶_n

3√ⁿ

2−2√ⁿ

3 ¡

sinh√ n¢¹

n (n²+1)^α−(n²−1)^α.

Exercice 9: Soit f la fonction de R dans R définie par f(x) =2x+sin x.

1. Montrer que f est bijective et de classe

C

f(x) =

½ cosh√

x si x≥0 cos√

−x si x<0 1. Montrer que f est continue et dérivable en 0.

2. Montrer que f est de classe

C

Exercice 11: Etudier les fonctions f(x) =x log|2+¹_x| et g(x) = _1+exp(1/x)^x (prolon- gement, asymptotes, position par rapport aux asymptotes, tangentes et demi-tangentes, courbes représentatives...).

Exercice 12: Calculer les limites

x→1lim

x^x−x^1/x

(x−1)² lim

x→π/2

³ tanx

2

´_{tan x}

x→+lim∞

µx+1 x−1

¶_x

x→+lim∞

µx²

2 +x⁴log cos1 x

¶

x→+lim∞e^−xcosh p

x²+1

2