MPSI A 2004-2005

MPSI A 2004-2005

Planche d’exercices 2

Exercice 1: [(École polytechnique)]

Soit P∈C[X] n’admettant que des racines simples non-nulles x₁,x₂, ...,x_n. Montrer que∑ⁿ_i=1xiP¹0(xi) =−_P(0)¹ .Que vaut∑ⁿ_i=1P0¹(xi)?

Exercice 2: [Nombres de Liouville(Grand classique toutes écoles)]

Soit P∈Z[X]irréductible sur Q et de degré d≥1 et a une racine réelle irrationnelle de P.

1. Théorème de Liouville : montrer qu’il existe un réel c>0 tel que pour tous p∈ Z, q∈N^∗, on a |a− ^p_q| ≥ ^c

q^d. (Indication : raisonner dans un premier temps sur [a−1,a+1].)

2. Soit (a_k)k∈N une suite de chiffres non-identiquement nulle à partir d’un certain rang, i.e. a_k∈ {0,1,2, ...,9}. Soit x_n=∑ⁿk=0 a_k

10^k!. Justifier l’existence de x=lim x_n et montrer qu’il est soit rationnel, soit transcendant.

Exercice 3: [transcendance dee (École Polytechnique)]

1. Soit P∈R[X]et pour tout t∈R, I(t) =

Z _t

0

e^t−uP(u)du.

Montrer que si deg P=q,

I(t) =e^t

∑

P⁽ⁱ⁾(0)−

∑

P⁽ⁱ⁾(t).

2. Supposons donnés des entiers relatifs a₀,a₁, ...,a_ntels que a₀6=0 et a₀+a₁e+· · ·+ aneⁿ=0. Soit p∈N. On pose

P=X^p−1(X−1)^p(X−2)^p· · ·(X−n)^p J=a₀I(0) +a₁I(1) +· · ·+a_nI(n).

Montrer que J est un entier. Montrer que (p−1)! divise J et enfin que pour tout entier premier p assez grand, J6=0. (On regardera modulo p!.)

3. Montrer qu’il existe C∈R tel que pour tout p∈N,|J| ≤C^pet trouver une minora- tion de|J|. En déduire que e est transcendant.

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