MPSI A 2004-2005
Feuille d’exercices
Propriétés métriques des courbes paramétrées
Exercice 1:
1. Déterminer la longueur de l’astroïde paramétrée par t7→(cos3(t),sin3(t)).
2. Déterminer la longueur de cardioïde d’équation polaireρ=1+cosθ.
Exercice 2: [Calcul de développée]
1. Déterminer la développée de la courbe paramétrée par x7→(x,ln x). Détermi- ner(a,f(a))tel que le rayon de courbure soit minimal.
2. Déterminer la développée de la cycloïde t 7→(t−sint,1−cost).
3. Déterminer la développée de l’astroïde.
Exercice 3: La chaînette est le support de la courbe paramétrée par x7→(x,cosh x), i.e. la courbe représentative de la fonction cosinus hyperbolique.
1. Déterminer l’abscisse curviligne de la chainette C qui s’annule en 0.
2. Donner une représentation normale de C.
Exercice 4: On considère trois courbe paramétrées définies sur R de classe
C
1désignées par A, B, C. On suppose que pour tout t∈R, on a les relations :
−˙
→A =−→
BC −→˙ B =−→
CA −→˙ C =−→
AB.
1. Montrer que l’isobarycentreΩde(A,B,C)est invariant au cours du temps.
2. Montrer que la fonction t 7→A(t) vérifie une équation différentielle d’ordre deux à coefficients constants.
3. Exprimer−→
ΩA,−→
ΩB et−→
ΩC en fonction de A(0)et B(0).
Exercice 5: [Courbe implicite]
Montrer que l’équation x3+2y3−x2+y=0 définit un arc plan dont on déter- minera la courbure en O.
Exercice 6: Déterminer les arcs plans de classe
C
2 d’équation polaire ρ= f(θ) tels que le rayon de courbure R(θ)vérifie R(θ) =pf(θ)2+f0(θ)2. 1
Exercice 7: [La tractrice]
Soit t7→M(t)un arc paramétré plan de classe
C
1de supportΓ. On suppose que la tangente enΓà M(t)coupe l’axe des abscisses en un point A(t)et que la longueur kM(t)A(t)kest une constante k.Déterminer une équation paramétrique cartésienne de t 7→M(t). (Indication : exprimer y en fonction de x, supposer que y>0 et y0<0, déterminer une équation différentielle vérifiée par y, puis exprimer x en fonction de y.)
Lorsque k=1 et queΓ contient S= (0,1), donner un paramétrage normal et calculer la longueur de l’arcSM en fonction de y.c
Exercice 8: [Cercle osculateur]
Soit s7→M(s) une représentation normale d’un arc de classe
C
k, k ≥3. On suppose que M0=M(0)est un point birégulier. On désigne par (−→T0,−→
N0)le repère de Fresnet lié à M0et(X,Y)les coordonnées de M dans ce repère.
1. Donner un équivalent de X et Y au voisinage de s=0. Que dire de la limite lims→0
2Y X2?
2. Donner en fonction de X et Y les coordonnées du centre C du cercle passant par M0 et M et admettant−→
T0 comme vecteur tangent. Montrer que lorsque s tend vers 0, C converge vers le point K=M0+γ1
0
−→ N0.
3. On appelle cercle osculateur de l’arc M en M0le cercle passant par M0 et de centre K. Soit s7→P(s)une paramétrisation normale de ce cercle, choisie de sorte que P(0) =M(0)et d
−
→P
ds (0) =−→ T0. Montrer quek−→
MPk=O(s3).
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