MPSI A 2004-2005
Feuille d’exercices
Continuité
Exercice 1: Montrer, à partir de la définition, la continuité de x7→√
x en x0=4 et de x7→ 1x en x0=3.
Exercice 2: Les fonctions suivantes de R dans R sont-elles continues en 0 ? x7−→E(x) x7−→
½ sin1x si x6=0 0 sinon
x7−→
½ x sin1x si x6=0
0 sinon x7−→
½ 1 si x∈Q 0 sinon
x7−→
½ x si x∈Q
0 sinon x7−→
½ xE(1x)si x6=0 1 sinon
Exercice 3: Calculer les limites suivantes :
x→3lim−
x2−x−6
x2−9 cos(πx) lim
t→+∞
√
t2+a−√ t2−a 2t
Exercice 4: Soit f une fonction continue périodique et non-constante. Montrer que f admet une plus petite période positive.
Exercice 5: [Application du TVI]
1. Soit f une fonction continue définie sur un intervalle de R et à valeur dans Z. Que dire de f ? Même question avec f à valeur dans Q.
2. Soit f :]a,b[→R une fonction continue. On suppose que limaf =limbf . Montrer que f n’est pas injective.
3. Soit f une application décroissante et continue sur R. Montrer que f admet un unique point fixe.
Exercice 6: [Fonction de Pringsheim]
1. Montrer que si|q|<1, limn→+∞qn=0.
2. Montrer l’existence de la fonction f définie par f(x) = lim
n→+∞ lim
m→+∞|cos(n!πx)|m
et étudier les points où elle est continue. L’avez-vous déjà rencontrée ?
Exercice 7: [Fonction discontinue sur Q et continue sur R\Q]
Soit f définie sur[0,1]par x7−→
½ 0 si x∈/Q
1
q si x= pq fraction irréductible p∈Z, q∈N∗
Montrer que f est continue en x0si x0irrationnel et discontinue si x0rationnel.
Exercice 8:
1. Montrer que x7→x2n’est pas uniformément continue sur R+.
2. Soit f une fonction uniformément continue sur R. Montrer qu’il existe deux réels m et p tels que|f(x)| ≤m|x|+p. Que peut-on en déduire pour une fonction unifor- mément continue sur un intervalle borné ?
3. Soit f une fonction continue sur R qui admet une limite finie en±∞. Montrer que f est uniformément continue.
Exercice 9: Soit f et g deux fonctions continues sur un segment I.
1. Justifier l’existence pour tout réel x de ϕ(x) =sup
t∈I(f(t) +xg(t)).
2. Montrer queϕest lipschitzienne sur R.
Exercice 10: On modifie légérement la définition de la continuité en remplaçant les ε>0 et/ouη>0 par des inégalités larges. Regarder les différents cas et caractériser les fonctions «continues» en ce nouveau sens.
