MPSI A 2004-2005

(1)

MPSI A 2004-2005

Feuille d’exercices

Ensembles finis et combinatoire

Exercice 1: Soient f : E→F, g : F→G et h : G→E trois applications telles que g◦f ◦h et f ◦h◦g soient surjectives et h◦g◦f injective. Montrer que f,g,h sont bijectives.

Exercice 2: Soient E un ensemble et

P

(E) l’ensemble des parties de E. Soit f : E →

P

(E) une application. Montrer que f n’est pas surjective. (Indication : considérer l’ensemble{x∈E|x∈/ f(x)}.)

Exercice 3: [Convolution de Vandermonde]

Soit E un ensemble fini et A, B deux parties de E. On considère l’application f :

P

(E)→

P

(A)×

P

(B)

X 7→(A∩X,B∩X) .

1. A quelles conditions sur A et B a-t-on f surjective ? f injective ? 2. Lorsque f est bijective, déterminer f⁻¹.

3. En déduire la formule de convolution de Vandermonde :

∑

n k=0

¡_p

k

¢ ¡ _q

n−k

¢= (^p+q_n ).

Exercice 4: [Bijections entreNetN²]

1. Montrer que l’application de N×N dans N^∗donnée par(p,q)7→2^p(2q+1) est une bijection. Ecrire un programme MAPLEqui à tout entier n≥1 associe son unique antécédent par cette application.

2. Montrer que l’application de N×N dans N donnée par(n,k)7→¹₂(n+k)(n+ k+1) +k est une bijection. (Faire un dessin.)

Exercice 5: Simplifier les sommes suivantes (n,p entiers) :

k∈Z,k

∑

pair

(ⁿ_k)

∑

k∈Z

(−1)^k(_2kⁿ)

∑

k∈Z,kpair

(−3)²^k(ⁿ_k)

k∈Z

∑

k(ⁿ_k)

∑

k∈Z

(−1)^kk(ⁿ_k)

∑

k∈Z

(−1)^k(ⁿ_k)¡

kp

¢

(2)

Exercice 6: Soit a≥1 un entier et z=eⁱ²^a^π. On pose u_p= (1+z^p)ⁿpour 0≤ p≤ a−1 et Sq=∑k

¡ _n

ak+q

¢ pour 0≤q≤a−1. Exprimer up en fonction des Sq. En déduire S_qen fonction des u_p. (On pourra commencer par a=2 et a=3.)

Exercice 7: [Polynômes générateurs]

Soient a0,a1, . . . ,an des nombre complexes. On appelle polynôme générateur de la somme

∑

n k=0

a_kle polynôme

∑

n k=0

a_kX^k. A l’aide de polynômes générateurs, simplifier

0≤k≤n

∑

kk!

∑

0≤k≤n

k²(ⁿ_k)

∑

0≤k≤n

k³(ⁿ_k)

∑

0≤k≤n

k(k+1)

Exercice 8: [Petit théorème de Fermat]

1. Montrer que si p est premier, il divise¡_p

k

¢pour tout 1≤k≤ p−1.

2. En déduire par récurrence que pour tout x∈Z, x^p≡x mod p. En déduire que si p ne divise pas x, x^p−1≡1 mod p.

Exercice 9: [Manipulation de∑^] 1. Calculer

∑

1≤j<k≤n

1

k−j. En déduire

∑

1≤j≤n

Hjen fonction de Hn. 2. Soient a₁, ...,a_n,b₁, ...,b_ndes nombres réels. Soient

S=

∑

1≤j<k≤n

(a_k−a_j)(b_k−b_j), s₁=

∑

1≤k≤n

a_k, s₂=

∑

1≤k≤n

b_k, s₃=

∑

1≤k≤n

a_kb_k.

Exprimer S en fonction de s₁,s₂,s₃. En déduire les inégalités de Tchebitchev :

si a1≤ · · · ≤anet b1≤ · · · ≤bn, Ã

1≤k≤n

∑

a_k

! Ã

1≤k≤n

∑

b_k

!

≤n

∑

1≤k≤n

a_kb_k

si a₁≤ · · · ≤a_net b₁≥ · · · ≥b_n, Ã

1≤k≤n

∑

a_k

! Ã

1≤k≤n

∑

b_k

!

≥n

∑

1≤k≤n

a_kb_k.