MPSI A 2004-2005

MPSI A 2004-2005

Planche d’exercices 1

Exercice 1: Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Soient f,g∈

L

(E)telles que f ◦g=0 et f+g∈GL(E). Montrer que rg f+rg g=dim E.

Exercice 2: Soit E un espace vectoriel et f ∈

L

(E). On suppose que pour tout x∈E, (x,f(x))est une famille liée. Montrer que f est une homothétie. En déduire le centre de

L

(E), c’est-à-dire l’ensemble des endomorphismes qui commutent à tous les endomor- phismes.

Exercice 3: Soit k∈ N. Montrer qu’il existe un unique polynôme P∈ Q[X] tel que P(cos x) =cos kx ppour tout réel x. Déterminer les racines de P et et décomposer ¹_P en éléments simples.

Exercice 4: Soit P∈R[X]. Montrer l’équivalence entre : 1. Pour tout x∈R, P(x)≥0 ;

2. Il existe A,B∈R[X]tels que P=A²+B².

Exercice 5: Soit(F_n)la suite de Fibonacci.

1. Soit n≥2. Montrer que le calcul de pgcd(Fn+1,F_n)par l’algorithme d’Euclide né- cessite exactement n−1 divisions.

2. Soient a,b∈N tels que 0≤b<a et soit d=pgcd(a,b). Montrer que si l’algorithme d’Euclide appliqué à(a,b)s’arrète au bout de n divisions euclidiennes, alors on a a≥dF_n+1et b≥dF_n.

Exercice 6:

1. Rappeler le rapport entre partition et relation d’équivalence.

2. Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G. En considérant la relation x

R

y⇔ xy⁻¹∈H, montrer que le cardinal de H divise celui de G (théorème de Lagrange).

3. Soit ϕ: G→G⁰ un homomorphisme de groupes où G est un groupe fini. Montrer que|Kerϕ||Imϕ|=|G|.

4. Soit K un corps de cardinal q. Calculer|GL(n,K)|et|SL(n,K)|.

5. Soit ϕ: G→G un homomorphisme de groupes où G est un groupe fini. Montrer que Kerϕ=Kerϕ²si et seulement si Imϕ=Imϕ².