MPSI A 2004-2005

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Exercice 1: [Partition deN^∗]

On notedxela partie entière supérieure du réel x, i.e. l’unique entier n tel que n<x≤ n+1.

Pour toutα>0, on définit

Spec(α) ={E(kα)|k∈N^∗}.

Montrer que les ensembles Spec(α)et Spec(β)forment une partition de N^∗si et seulement siαetβsont irrationnels et

1 α+1

β =1.

(Tuyau : Poser N(α,n) =Card{k∈N^∗|E(kα)≤n}et vérifier que N(α,n) =dⁿ⁺¹_α e −1.) Exercice 2: [Exponentielle complexe]

Soit z∈C. On pose u_n=¡

1+^z_n¢_n . 1. Montrer que lim|u_n|=e^Re(z). 2. Soitθn=arg¡

1+^z_n¢

avecθn∈]−π,π]. Montrer que limθn=0 et que tanθn∼^Im(z)_n . 3. Montrer que lim u_n=e^z.

Exercice 3: [Nombres parfaits pairs]

Pour n∈N^∗, on note S(n)la somme des diviseurs dans N^∗de n. Un nombre est parfait si S(n) =2n.

1. Montrer que S est multiplicative, i.e. si m et n sont premiers entre eux, alors S(mn) = S(m)S(n).

2. Soit p∈N tel que 2^p−1 est premier. Montrer que 2^p−1(2^p−1)est parfait (théorème d’Euclide).

3. Soit n parfait et pair. Montrer que n s’écrit n=2^p−1(2^p−1)où(2^p−1)est premier (théorème d’Euler).

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