Examen Fonctions de la variable réelle (Session1)

Université de Cergy-Pontoise Vendredi 19 janvier 2018

UFR de Sciences et techniques L1 Mathématiques

Examen Fonctions de la variable réelle (Session1)

Durée : 2 heures 30 minutes

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Questions de cours (2pts) : 1) Donner la dénition mathématique (avec des quanticateurs) de lim

x→+∞f(x) =l.

2) Enoncer le théorème des accroissements nis.

Exercice 1 (6pts) : 1) Rappeler sans justication la valeur des limites suivantes :

x→0lim sinx

x , lim

x→0

ln(1 +x)

x .

2) Calculer (si elles existent) les limites suivantes

x→0lim

ln(1 + 5x)

x , lim

x→0

x²

sin(x) ln(1 + 5x), lim

x→0

ln(1 +x²) sin²(x) .

Exercice 2 (4pts) : On considère la fonction f(x) = x+ ln(cosx) dénie sur [−^π₄,^π₄].

a) Calculer la dérivée de f sur]− ^π₄,^π₄[.

b) En déduire quef est bijective de[−^π₄,^π₄]sur un intervalleJ que l'on précisera.

c) Calculer la dérivée en 0de la fonction réciproque f⁻¹.

Exercice 3 (4pts) : On dénit la fonction f : R^∗ −→R par f(x) = e^xsin(x)

x .

1) Rappeler les développements limités à l'ordre 2 des fonctions x 7→ e^x et x7→sin(x).

2) Calculer le développement limité en 0 et à l'ordre 2 de x 7→ e^xsin(x) et en déduire le développement limité en 0et à l'ordre 1 de la fonctionf.

3) Montrer quef est prolongeable par continuité en 0en une fonction g que l'on précisera.

4) Justier queg est dérivable en 0et calculer g⁰(0).

T.S.V.P.

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Exercice 4 (4pts) : On dit qu'une fonction réelle f : [a, b] −→ R dénie sur un intervalle [a, b] est hölderienne d'exposant α > 0 si la propriété suivante est satisfaite :

(P) ∃M >0, ∀x∈[a, b], ∀y ∈[a, b], |f(x)−f(y)| ≤M|x−y|^α. 1) Écrire la négation de cette propriété.

2) Montrer qu'une fonctionf hölderienne d'exposantα >0est continue sur[a, b]. 3) On considère une fonctionfcontinue sur[a, b]et dérivable sur]a, b[. On suppose de plus qu'il existe M >0 tel que|f⁰(x)| ≤M pour tout x ∈]a, b[. Montrer que f est hölderienne sur[a, b]d'exposant α= 1.

4) Montrer qu'une fonction f hölderienne d'exposant α > 1 est constante sur [a, b].

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