Séries de fonctions

(1)

Université de Caen 1

^er

semestre 2015-2016

UFR Sciences Mathématiques

L2 Maths Analyse

Séries de fonctions

Exercice 1. On considère la série de fonctions ( P

n≥1 f n ) avec f n : R → R , x 7→ sin(nx) n ³ . a. Montrer la convergence simple de la série sur R . On note g(x) = P ∞

n=1 f n (x) pour tout x ∈ R . b. Montrer que la série ( P

n≥1 f n ) converge normalement sur R . En déduire que g est continue.

c. Montrer que g est dérivable sur R .

Exercice 2. Montrer que la fonction f : R → R définie ci-dessous est continue, puis dérivable :

f (x) =

∞

X

n=0

e ⁻ⁿ cos(n ² x).

Exercice 3. On considère la série de fonctions ( P

n≥1 f n ) avec f n : R ⁺ → R , x 7→ n + x ³ x + n ³ . a. Montrer la convergence simple de la série sur R + . On note g(x) = P ∞

n=1 f _n (x) pour tout x ∈ R + . b. La série ( P

n≥1 f n ) converge-t-elle normalement sur R + ? c. On fixe a > 0.

(i) Montrer que pour tout x ∈ [0, a] on a |f _n (x)| ≤ (n + a ³ )/n ³ . (ii) Montrer que la série ( P

n≥1 f n ) converge normalement sur [0, a].

d. Montrer que g est continue sur R + .

Exercice 4. On considère les séries de fonctions ( P

n≥1 f n ), ( P

n≥1 g n ) où f n (x) = x

n ³ + x ³ , g n (x) = x ² n ³ + x ³ . Ces séries convergent-elles normalement sur R + ? sur [0, a] pour a fixé ? On étudiera les fonctions f n , g n .

Exercice 5. On définit la fonction ζ de Riemann en posant, pour tout x > 1 :

ζ(x) =

∞

X

k=1

1 k ^x .

a. On fixe a > 1. Montrer que la série de fonctions converge normalement sur [a, +∞[.

Converge-t-elle normalement sur ]1, +∞[ ?

b. Montrer que ζ est continue sur ]1, +∞[ et déterminer la limite de ζ en +∞.

c. Montrer que ζ est dérivable sur ]1, +∞[ et exprimer ζ ⁰ (x) comme somme d’une série.

Exercice 6. Pour tout x ≥ 0 et tout n ∈ N ^∗ on pose

f _n (x) = e ^−nx

n ² et g(x) =

∞

X

n=1

f _n (x).

a. Montrer que la série ( P

f n ) converge normalement sur R + . Montrer que g est continue sur R + . b. La série ( P f _n ⁰ ) converge-t-elle normalement sur R + ? et sur [a, +∞[, avec a > 0 ?

Montrer que g est de classe C ² sur R ^∗ + . Déterminer lim _x→∞ g(x) et lim _x→∞ g ⁰ (x).

Séries de fonctions

Université de Caen 1

semestre 2015-2016

UFR Sciences Mathématiques

L2 Maths Analyse

Séries de fonctions

Exercice 1. On considère la série de fonctions ( P

n≥1 f n ) avec f n : R → R , x 7→ sin(nx) n 3 . a. Montrer la convergence simple de la série sur R . On note g(x) = P ∞

n=1 f n (x) pour tout x ∈ R . b. Montrer que la série ( P

n≥1 f n ) converge normalement sur R . En déduire que g est continue.

c. Montrer que g est dérivable sur R .

Exercice 2. Montrer que la fonction f : R → R définie ci-dessous est continue, puis dérivable :

f (x) =

∞

X

n=0

e −n cos(n 2 x).

Exercice 3. On considère la série de fonctions ( P

n≥1 f n ) avec f n : R + → R , x 7→ n + x 3 x + n 3 . a. Montrer la convergence simple de la série sur R + . On note g(x) = P ∞

n=1 f n (x) pour tout x ∈ R + . b. La série ( P

n≥1 f n ) converge-t-elle normalement sur R + ? c. On fixe a > 0.

(i) Montrer que pour tout x ∈ [0, a] on a |f n (x)| ≤ (n + a 3 )/n 3 . (ii) Montrer que la série ( P

n≥1 f n ) converge normalement sur [0, a].

d. Montrer que g est continue sur R + .

Exercice 4. On considère les séries de fonctions ( P

n≥1 f n ), ( P

n≥1 g n ) où f n (x) = x

n 3 + x 3 , g n (x) = x 2 n 3 + x 3 . Ces séries convergent-elles normalement sur R + ? sur [0, a] pour a fixé ? On étudiera les fonctions f n , g n .

Exercice 5. On définit la fonction ζ de Riemann en posant, pour tout x > 1 :

ζ(x) =

∞

X

k=1

1 k x .

a. On fixe a > 1. Montrer que la série de fonctions converge normalement sur [a, +∞[.

Converge-t-elle normalement sur ]1, +∞[ ?

b. Montrer que ζ est continue sur ]1, +∞[ et déterminer la limite de ζ en +∞.

c. Montrer que ζ est dérivable sur ]1, +∞[ et exprimer ζ 0 (x) comme somme d’une série.

Exercice 6. Pour tout x ≥ 0 et tout n ∈ N ∗ on pose

f n (x) = e −nx

n 2 et g(x) =

∞

X

n=1

f n (x).

a. Montrer que la série ( P

f n ) converge normalement sur R + . Montrer que g est continue sur R + . b. La série ( P f n 0 ) converge-t-elle normalement sur R + ? et sur [a, +∞[, avec a > 0 ?

Montrer que g est de classe C 2 sur R ∗ + . Déterminer lim x→∞ g(x) et lim x→∞ g 0 (x).

c. Calculer g 00 (x), puis g 0 (x), pour tout x > 0.

d. Montrer que

∞

X

n=1

1 n 2 = −

Z +∞

0

ln(1 − e −t )dt.

n≥1 f n ) avec f n : R → R , x 7→ sin(nx) n ³ . a. Montrer la convergence simple de la série sur R . On note g(x) = P ∞

e ⁻ⁿ cos(n ² x).

n≥1 f n ) avec f n : R ⁺ → R , x 7→ n + x ³ x + n ³ . a. Montrer la convergence simple de la série sur R + . On note g(x) = P ∞

n=1 f _n (x) pour tout x ∈ R + . b. La série ( P

(i) Montrer que pour tout x ∈ [0, a] on a |f _n (x)| ≤ (n + a ³ )/n ³ . (ii) Montrer que la série ( P

n ³ + x ³ , g n (x) = x ² n ³ + x ³ . Ces séries convergent-elles normalement sur R + ? sur [0, a] pour a fixé ? On étudiera les fonctions f n , g n .

1 k ^x .

c. Montrer que ζ est dérivable sur ]1, +∞[ et exprimer ζ ⁰ (x) comme somme d’une série.

Exercice 6. Pour tout x ≥ 0 et tout n ∈ N ^∗ on pose

f _n (x) = e ^−nx

n ² et g(x) =

f _n (x).

f n ) converge normalement sur R + . Montrer que g est continue sur R + . b. La série ( P f _n ⁰ ) converge-t-elle normalement sur R + ? et sur [a, +∞[, avec a > 0 ?

Montrer que g est de classe C ² sur R ^∗ + . Déterminer lim _x→∞ g(x) et lim _x→∞ g ⁰ (x).

c. Calculer g ⁰⁰ (x), puis g ⁰ (x), pour tout x > 0.

1 n ² = −

ln(1 − e ^−t )dt.