Université de Cergy-Pontoise 2007-2008 S3 PC/C/STE
Examen de mathématiques Deuxième session
Durée 2h00
Les calculatrices et les documents sont interdits
Dans les exercices et le problème, on pourra admettre les résultats d’une question pour faire les questions suivantes.
(Le bar^eme est donné à titre indicatif, il est susceptible de changer).
Exercice 1 :
Séries de Fourier (5pts)On considère la fonction 2π-périodique f définie par
∀x∈[−π,0[, f(x) = 0,
∀x∈[0, π[, f(x) = 1.
1)(3pts) Calculer les coefficients de Fourier def. 2)(2pts) En utilisant Parseval, retrouver la valeur de
∞
X
n=1
1 (2n+ 1)2.
Exercice 2 :
Séries entières (5pts)On s’intéresse aux deux séries entières suivantes : f(x) =
∞
X
n=0
xn 2n
g(x) =
∞
X
n=0
(n+ 1)xn 2n.
1) (2pts) Calculer les rayons de convergence respectifs de f et g.
2) (1pt) Vérifier que pour toutn∈N, (n+ 1)
2n =
n
X
k=0
1 2
k
. 1
2 (n−k)
.
3) (2pts) En déduire une relation entre f et g.
1
Exercice 3 :
Intégrales généralisées (4pts)On souhaite étudier quand elle existe la fonction définie par
F(x) = Z +∞
0
f(x, t)dt oùf(x, t) = e−xt 1 +t2.
1) (2pts) Montrer que pour toutx∈[0,+∞[,F(x)est une intégrale convergente.
2) (2pts) Montrer que F est continue sur [0,+∞[.
Exercice 4 :
Intégrales doubles (6pts) On considère le domaine suivant :Ω =
(x, y)∈R2,sin(2πx)≤y ≤4(1−x2) . 1) (2pts) DessinerΩ.
On note Γ+ le bord deΩ parcouru dans le sens positif.
On se propose de calculer l’intégrale curviligne suivante :
I = Z
Γ+
x 1 + 2ysin(x2y) x2 1 + sin(x2y)
.d~σ.
2) (2pts) En utilisant Green-Riemann, montrer que I =
ZZ
Ω
2xdxdy.
3) (2pts) En utilisant Fubini, calculerI.
2
Rappels de cours : 1 Séries de Fourier :
Définition 1.1 On appelle coefficients de Fourier de f les rels suivants a0 = 1
T Z T
0
f(t)dt, an= 2
T Z T
0
f(t) cos 2nπ
T t
dt,∀n≥1, bn = 2
T Z T
0
f(t) sin 2nπ
T t
dt,∀n ≥1.
Théorème 1.2 (Thorme de Dirichlet)
Si f est C1 par morceaux, alors sa srie de Fourier S(x) converge. De plus si f est continue au point x alors S(x) =f(x). Si x est un point de discontinuit
, si on note f(x+) la limite  droite et f(x−) la limite  droite, alors : S(x) = f(x+) +f(x−)
2 .
Théorème 1.3 (Egalit de Parseval) On vrifie l’galit suivante :
2 T
Z T 0
f2(t)dt = 2a20+
∞
X
n=1
a2n+b2n.
2 Séries entières
On dfinit le produit de deux sries entires de la faon suivante : Définition 2.4 (Produit de Cauchy) Soient deux sries entires de termes gnraux (an) et (bn), on appelle produit de Cauchy de ces deux sries la srie de terme gnral (cn) dfini par :
cn=
n
X
k=0
akbn−k. On a alors le rsultat suivant.
Proposition 2.5 Soient deux sries entires de termes gnraux(an)et (bn) de rayon de convergence respectifsR etR0, on note(cn)le terme gnral de leur produit de Cauchy. Le rayon de convergence du produit de Cauchy est alors suprieur ou gal au minimum de R et R0. De plus pour tout |x| <
Min{R, R0},
∞
X
n=0
cnxn=
∞
X
n=0
anxn.
∞
X
n=0
bnxn.
3
3 Intégrales doubles
Théorème 3.6 (Formule de Fubini)
On considère deux fonctions ϕ1 et ϕ2 à valeurs réelles, définies et continues sur un m^eme intervalle [a, b] telles que
∀t∈[a, b], ϕ1(t)≤ϕ2(t).
On considère le domaine
Ω ={(x, y)∈R2, a≤x≤b, ϕ1(x)≤y ≤ϕ2(x)}.
Alors le domaine Ω est un fermé régulier et pour toute fonction f intégrable sur Ωon vérifie
ZZ
Ω
f(x, y)dxdy= Z b
a
Z ϕ2(x) ϕ1(x)
f(x, y)dy
! dx.
Théorème 3.7 (Formule de changement de variables)
Soit Ω un ensemble fermé, borné, régulier du plan. Soit F une fonction définie de Ω dans Ω1 bijective et de classe C1. On suppose que pour tout (x, y) ∈ Ω JF(x, y)6= 0. On vérifie alors
ZZ
Ω
f F(x, y)
JF(x, y)
dxdy= ZZ
Ω1
f(u, v)dudv.
Une formule de changement de variables en coordonnées polaire : ZZ
B(O,R)
f(x, y)dxdy = ZZ
[0,R]×[0,2π]
f(rcos(θ), rsin(θ))rdrdθ.
4 Intégrales curvilignes
Soit F~(x, y) =
P(x, y) Q(x, y)
un champ de vecteur.
Théorème 4.8 (Formule de Green-Riemann)
SoitΩun ouvert borné régulier. SoitΓson bord que l’on suppose sans point double.
On noteΓ+ ce bord parcouru dans le sens positif. Alors si F~(x, y) =
P(x, y) Q(x, y)
est un champ de vecteur de classe C1 Z
Γ+
F~(x, y).d~σ = ZZ
Ω
∂Q
∂x −∂P
∂y
dxdy.
4
