Examen de mathématiques Deuxième session

Université de Cergy-Pontoise 2005-2006 S3 PC/C/STE

Examen de mathématiques Deuxième session

Durée 2h00

Les calculatrices et les documents sont interdits

Dans les exercices et le problème, on pourra admettre les résultats d'une question pour faire les questions suivantes.

(Le bar^eme est donné à titre indicatif, il est susceptible de changer).

Exercice 1 :

a0 = 1 et∀n ≥1, an= n!

nⁿ. 1) Vérier que lim

n→∞

1 + 1

n n

=e.

2) Calculer le rayon de convergence de la série entière de terme général(an).

Exercice 2 :

On considère les intégrales généralisées suivantes pour α∈R : I_α =

Z +∞

0

t(cos(t) +α) 1 +t² dt.

1) Etude du cas α= 0.

SoitA >0, en faisant une intégration par partie dans l'intégraleZ A 0

t

1 +t² costdt, montrer queI0 est une intégrale convergente.

2) En déduire, en vous justiant bien, que I_α est une intégrale divergente pour tout α6= 0.

Problème :

Partie I : (6pts) Calcul d'une aire.

Soient α, β deux réels et soient a >0, b <0. On dénit le domaine E par E =

(x, y)∈R²,(x−α)²

a² +(y−β)² b² ≤1

. On se propose de calculer l'aire deE notée A(E).

1

1) Rappeler la nature géométrique du domaineE. 2) SoitF la fonction dénie par :

F : [0,1]×[0,2π] −→ R²

(r, θ) 7−→ (α+arcosθ, β+brsinθ).

a) Vérier que F est à valeurs dans E.

b) Est-ce que F dénit une bijection de [0,1]×[0,2π]dans E? c) Calculer le jacobien deF.

3) Rappeler la formule de changement de variable en dimension 2.

4) En supposant que l'on peut faire le changement de variable proposé par F, montrer que

A(E) = ZZ

[0,1]×[0,2π]

−rab drdθ.

5) En déduire l'aire deE.

Partie II : (5pts) Un calcul d'intégral curviligne Soit Γ =

(x, y)∈R², x²+ 2x+y² 4 = 0

et on considére la forme diéren- tielle

ω = (xp

x²+y²+ 1 +y)dx+ (yp

x²+y²+ 1 + 2x)dy.

On se propose de calculer l'intégrale curviligne deω le long de Γ parcouru dans le sens positif que l'on note

I = Z

Γ⁺

ωdσ.

On note Ω =

(x, y)∈R², x²+ 2x+y² 4 ≤0

. 1) Enoncer la propriété de Green-Riemann.

2) En utilisant Green-Riemann, montrer queI = ZZ

Ω

1dxdy. 3) Vérier que (x, y)∈Ω si et seulement si (x+ 1)²+ y²

4 ≤1. 4) En utilisant la partie I, en déduire la valeur de I.

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