On définit pour tout élément f deE,N(f)=supx∈[0,1]|f0(x)| etkfk∞=supx∈[0,1]|f(x

Université de Rouen Master 1 MFA Année 2015-2016

Analyse Fonctionnelle

Examen du 15 juin 2016, durée 2h

L’USAGE DE TOUT DISPOSITIF ÉLECTRONIQUE AUTRE QUE LA MONTRE(ET ENCORE) EST INTERDIT. IL EN EST DE MÊME DE TOUT DOCUMENT.

Une rédaction claire et concise sera appréciée. Toute affirmation devra être justifiée.

Questions de cours.Donner l’énoncé du théorème de l’application ouverte.

Exercice 1. SoitE l’espace vectoriel réel des fonctions (à valeurs réelles) de classeC¹sur [0, 1] et nulles en 0

E=©

f ∈C¹([0, 1]) ;f(0)=0ª .

On définit pour tout élément f deE,N(f)=sup_x∈[0,1]|f⁰(x)| etkfk∞=sup_x∈[0,1]|f(x)|. On rap- pelle que pour toute fonctionC¹sur [0, 1] on a f(y)=f(x)+Ry

x f⁰(s)d s.

(a) Montrer queN(·) est une norme surE.

(b) Montrer queE muni de la normeN(·) est complet. [on rappelle si nécessaire queC([0, 1]) muni de la norme de la convergence uniforme est complet.]

(c) Montrer que pour toutf dansE on a

kfk∞≤N(f).

(d) Pourn≥1 on pose fn(x)=xⁿ. Vérifier que fn est dansE et calculerN(fn) etkfnk∞. Les deux normesN(·) etk · k∞sont-elles équivalentes ?

(e) Sur (E,k · k∞) la forme linéaireΦdéfinie parΦ(f)=f⁰(1) est-elle continue ? (f ) Soitgn définie par

gn(0)=0 g_n⁰(x)= (^p_n

2 si 0≤x≤_n¹

1 2p

x si _n¹<x≤1

Montrer quegn est un élément deE et quegn converge uniformément vers la fonctiong définie parg(x)=p

x.E muni dek · k∞est-il complet ?

Exercice 2. Soient (X,d) un espace métrique et (E,k·kE) un Banach. On considère une application gdéfinie deX dansEet on suppose que pour tout f ∈E⁰l’application<f,g(t)>E⁰,E définie deX dansRest lipschitzienne : pour tout f dansE⁰, il existeK>0 (iciK peut dépendre de f) vérifiant, (1) ∀(t,r)∈X², | <f,g(t)>E⁰,E− <f,g(r)>E⁰,E| ≤K d(t,r).

Le but est de montrer queg est lipschitzienne, c’est-à-dire qu’il existeL>0 vérifiant : pour tout t,r∈X

kg(t)−g(r)kE≤Ld(t,r).

On pose

A=n 1 d(t,r)

¡g(t)−g(r)¢

; (t,r)∈X²avect6=ro . (a) Montrer quegest lipschitzienne si et seulement siA est borné dansE.

(b) Pour touty∈Aon considèreT_y l’application définie deE⁰ dansRparT_y(f)=<f,y>E⁰,E. (a) Soit y∈A. Montrer queTy est un opérateur linéaire continue deE⁰ dansR. Détermi-

nerkTykE⁰⁰ en fonction dey(à l’aide d’un théorème du cours).

(b) À l’aide de la propriété (1) montrer que pour tout f ∈E⁰on a sup_y∈A|Ty(f)| < +∞. (c) À l’aide d’un théorème du cours montrer que sup_y∈AkTyk < +∞.

1 Tournez la page S.V.P.

(d) En déduire que pour tout f ∈E⁰et tout y∈Aon a

| <f,y>E⁰,E| ≤ckfkE⁰

et conclure queA est borné.

Exercice 3. SoientE un espace vectoriel normé etx,y deux éléments non nuls deE. On suppose de plus que x et y ne sont pas colinéaires (µx+λy=0 entraîneµ=λ=0). Montrer à l’aide du théorème de Hahn-Banach qu’il existe une forme linéaire f continue surEvérifiant

f(x)= kxk, f(y)=0.

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