Université de Rouen Master 1 MFA Année 2014-2015
Analyse Fonctionnelle
Examen du 6 janvier 2015, durée 3h L’USAGE DE TOUT DISPOSITIF ÉLECTRONIQUE AUTRE QUE LA MONTRE(ET ENCORE)EST INTERDIT.
IL EN EST DE MÊME DE TOUT DOCUMENT.
Une rédaction claire et concise sera appréciée. Toute affirmation devra être justifiée.
Exercice 1. Pour toutndansN∗ on définit la fonction fn deRdansRparfn(x)=p
n1[n,n+1n](x).
(a) Montrer quefn converge simplement vers 0.
(b) Montrer que, pour toutndansN, fnappartient àL2(R) et calculerkfnkL2(R).
(c) Montrer quefnconverge faiblement vers 0 dansL2(R) mais ne converge pas fortement vers 0 dans L2(R). [pour la convergence faible on pourra notamment utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz]
(d) Montrer quefn converge fortement dansLp(R) pour tout 1≤p<2.
Exercice 2. [Mazur dansL2]On se place ici dans L2(Ω) oùΩest un ouvert deRN (N≥1). Soit (fn)n∈N une suite deL2 convergent faiblement vers 0 dans L2(Ω). Le but est de montrer qu’il existe une sous- suite (fnj) telle que
(1) ϕm= fn1+fn2+ · · · +fnm
m convergefortementvers 0 dansL2(Ω).
(a) On posen1=1. Montrer qu’il existen2>n1tel que
¯
¯
¯ Z
Ωfn1fn2d x¯
¯
¯≤1.
(b) Montrer qu’il existen3>n2tel que
¯
¯
¯ Z
Ωfn1fn3d x¯
¯
¯≤1 2,
¯
¯
¯ Z
Ωfn2fn3d x¯
¯
¯≤1 2.
(c) Montrer que l’on peut construire une sous suite (fnj) telle que pour toutk≥1 on a
¯
¯
¯ Z
Ωfnlfnk+1d x¯
¯
¯≤1
k, ∀1≤l≤k.
(d) Rappeler pourquoiM=supn∈NkfnkL2(Ω)est fini.
(e) Soitk≥1. Montrer à l’aide des questions (c) et (d) que 1
(k+1)2 Z
Ω
¡fn1+fn2+ · · · +fnk+1¢2
d x≤(k+1)M2+2·1+2·22+ · · · +2kk
(k+1)2 .
(f ) Montrer queϕm = fn1+fn2+ · · · +fnm
m converge fortement vers 0 dansL2(Ω) quandmtend vers l’infini.
Exercice 3. [Autour de Banach-Steinhaus]
SoientE etF deux Banach et soit (Tn)n∈Nune suite d’applications linéaires continues deE dansF.
On suppose que si (xn)n∈Nest une suite deEconvergente vers 0 alors (Tn(xn))n∈Nest une suite deFqui converge vers 0. Le but est de montrer que supn∈NkTnk < +∞et d’appliquer ce résultat à un exemple.
(a) Soitx∈E (x6=0). Posons M=sup©
kTn(x)kF;n∈Nª
et supposons queM= +∞. Soit (Tnk(x))k∈N une sous suite de (Tn(x))n∈Ntelle que limk→+∞kTnk(x)kF= +∞. On poseynk= x
kTnk(x)kF
. -i- CalculerkTnk(ynk)kF.
-ii- Montrer queynk tend vers 0.
-iii- Utiliser la propriété vérifiée parTnet montrer que l’on aboutit à une contradiction.
1 Tournez la page S.V.P.
-iv- Montrer, à l’aide du théorème de Banach-Steinhaus, que supn∈NkTnk < +∞.
(b) Dans cette question E =C([0, 1]) est muni de la norme de la convergence uniforme et F =R. Soient (an)n∈N une suite de [0, 1] et (bn)n∈N une suite de R. Montrons que les deux propriétés suivantes sont équivalentes
1. il existeM>0 tel quean|bn| ≤M, pour toutn∈N.
2. pour toute suite (fn)n∈NdeEqui converge –uniformément– vers 0 on a
nlim→+∞bn
Z an
0 fn(x)d x=0.
Pour cela on définit pour toutn∈Nl’applicationTn deE dansRpar Tn(f)=bn
Z an 0
f(x)d x
-i- Montrer queTn est une forme linéaire continue et quekTnk =an|bn|. -ii- Montrer que 1⇒2.
-iii- Conclure que 2⇒1 à l’aide de la question a).
Exercice 4. [Lemme des hyperplans parallèles]Soit E un espace de Banach et soient f et g deux élé- ments deE0de norme 1. On suppose qu’il existe 0<ε<1 tel que
∀x∈ker(g)∩BE |f(x)| ≤ε. (BE désigne ici la boule unité ouverte deE) Le but est de démontrer quekf −gk ≤2εoukf +gk ≤2ε.
(a) À l’aide d’un théorème bien connu de l’analyse fonctionnelle (à énoncer avec soin) montrer qu’il existe fe∈E0telle que
∀x∈ker(g) fe(x)=f(x) et kfek ≤ε.
(b) Montrer qu’il existeλ∈Rtel que f −fe=λg. [sig(x0)6=0 on pourra démontrer et utiliser le fait que E=ker(g)+Rx0]
(c) Montrer que|1− |λ|| ≤ε.
(d) Selon le signe deλmajorerkf−gkoukf +gket démontrer le résultat annoncé.
2
