Université de Rouen L2 SPS
Année 2016-2017
Mathématiques. Examen 5 janvier 2017 Durée 2h
L’USAGE DE TOUT DISPOSITIF ÉLECTRONIQUE AUTRE QUE LA MONTRE(ET ENCORE) EST INTERDIT.IL EN EST DE MÊME DE TOUT DOCUMENT.
Une rédaction claire et concise sera appréciée. Toute affirmation devra être justifiée.
Exercice 1. En utilisant la formule d’intégration par parties calculer Z π
0
xcos(2x)d x, Z 1
−1
(2x−3) exp(−2x)d x. Exercice 2. Soit la fonction f définie par
f(x)= x+1 (x−3)(x+2). (a) Donner l’ensemble de définition de f. Calculer f0. (b) Déterminer les réalsaetb tels que
f(x)= a x−3+ b
x+2. (c) Déterminer les primitives de f.
Exercice 3. Soit la matrice A=
2 1 3
−1 1 0
1 1 2
. CalculerA2etA3et 6A−5A2+A3. Exercice 4. Soit la matrice Aet le vecteurbdéfinis par
A=
−1 −3 2 −1
1 2 0 1
0 2 −1 2
1 1 1 1
b=
9
−4
−10
−1
Résoudre le système linéaireAx=b.
Exercice 5. Un tracteur doit aller du point A (le hangar) au point C (le lieu de versement du blé par la moissonneuse-batteuse). La situation géographique est la suivante (voir aussi la figure) :
— la route est goudronnée entre le pointAetBet délimite le champ. Le champ se trouve au sud de la route etC se trouve dans le champ (zone hachurée du graphique).
— les distances données :AB=2km,BC=1km
— BC est perpendiculaire àAB
On suppose que le tracteur se déplace en ligne droite à la vitesse constante de 40km/h sur la route et à la vitesse constante de 20km/h dans le champ. Plutôt que de rejoindre directementC par le champ ou d’aller jusqu’àBet ensuite jusqu’àC, le conducteur adopte la stratégie suivante :
— roulerl(0<l<2) kilomètre(s) sur la route (de AàD sur la figure)
— tourner à droite, aller dans le champ, se diriger en ligne droite deDàC dans le champ.
(a) Exprimer en fonction della distance deDàC.
(b) Exprimer en fonction del le temps nécessaire pour aller de A àC (on décomposera le trajet en deux parties, une de A à D et une deD à C). On note f(l) cette quantité.
(c) Trouver la distance l telle que le temps f(l) soit minimal.
A B
C D
2km
1km l
1
