Analyse Fonctionnelle

Université de Rouen Master 1 MFA Année 2016-2017

Analyse Fonctionnelle

Examen du 10 janvier 2017, durée 3h

IL EN EST DE MÊME DE TOUT DOCUMENT.

Une rédaction claire et concise sera appréciée. Toute affirmation devra être justifiée.

Questions de cours.Donner les énoncés des théorèmes de Hahn-Banach version géométrique.

Exercice 1. Soit la suite de fonctions (fn)n∈Ndéfinie par fn(x)=

³ n 1+n²x²

´1/2

, ∀x∈[−1, 1].

Le but est d’étudier la convergence faible ou forte de la suite dansL^p([−1, 1]) en fonction dep≥2.

(a) Montrer quefn(x) converge vers 0 pour presque toutx∈[−1, 1].

(b) CalculerkfnkL²([−1,1])en fonction den. En déduire lim_n→+∞kfnkL²([−1,1]). La suite (fn)_n∈Npeut- elle converger fortement dansL²([−1, 1]) ?

(c) Casp=2.

-i- Soitϕ∈C⁰([−1, 1]) telle qu’il existe 0<ε<1 vérifiantϕ(x)=0 pour toutx∈[−ε,ε]. Montrer que

nlim→+∞

Z 1

−1

fn(x)ϕ(x)d x=0.

-ii- En supposant que l’ensemble H=©

ϕ∈C⁰([−1, 1]) ;ϕest nulle dans un voisinage de 0ª

est dense dansL²([−1, 1]) montrer que (fn)_n∈Nconverge faiblement vers 0 dansL²([−1, 1]).

[Question bonus]

(d) Casp>2.

(a) À l’aide d’une minoration, montrer que

n→+∞lim Z 1/n

0

³ n 1+n²x²

´p/2

d x= +∞. (b) En déduire que lim_n→+∞kfnkL^p([−1,1])= +∞.

(c) La suite (f_n)_n∈Npeut-elle converger faiblement dansL^p([−1, 1]) ?

[Question bonus]

Exercice 2. SoitE un Banach. On considère une application linéaire continue deE dansE, notéeT et on suppose que pour tout x∈E il existenx ∈N^∗ tel que T^nx(x)=0. [l’indicexdansnx est juste pour rappeler que lendépend dex]

(a) Soit (an)n≥1 une suite de réels strictement positifs. Montrer, à l’aide d’un théorème du cours, que

sup

n≥1ka_nTⁿk < +∞.

(b) À l’aide de la question précédente montrer qu’il existe un entiern tel queTⁿ=0 (l’opérateur nul). [on pourra raisonner par l’absurde et choisir judicieusement une suitea_n]

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Tournez la page S.V.P.

Problème. Soit (E,k · k) un espace de Banach de dimension infinie. Soit (un)n≥1 une famille dénom- brable d’éléments de E et soitF l’espace vectoriel engendré par la famille {un;n≥1}. Pour toutn≥1, Vn désigne l’espace vectoriel engendré par les élémentsu1, . . . ,un.

On dira que la famille (un)n≥1estbasique, si pour tout élémentx∈F(la fermeture deF) il existe une uniquesuite (an)_n≥1de réels telle que

x= lim

n→+∞

n

X

k=1

a_ku_k.

On dira que la famille (u_n)_n≥1vérifie lacondition (?)si il existeK>0 vérifiant

∀1≤p≤q, ∀(a1,a2, . . . ,aq)∈R^q, k

p

X

k=1

akukk ≤Kk

q

X

k=1

akukk.

Partie I. On suppose que la famille (un)n≥1vérifie la condition(?)avec une constanteK0.

(a) Montrer que la famille (un)n≥1est libre (on rappelle qu’en algèbre une combinaison linéaire est nécessairement finie). En déduire que pour toutx∈F il existe une unique suite (a_k)_k≥1de réels telle qu’à partir d’un certain rang la suiteak est nulle et

x=

+∞X

k=1

a_ku_k (la somme est finie en réalité).

Dans la suite six∈F, (a1, . . . ,ap, . . . ) désigne les coordonnées dexdans la base (un)_n≥1. (b) Soitn≥1. Pour toutx∈F on définitϕn(x) par

ϕn(x)=an

où (a₁, . . . ,a_p, . . . ) désigne les coordonnées dex dans la base (u_n)_n≥1. Montrer queϕn est une forme linéaire continue deF telle quekϕnk ≤ K0

kunk.

(c) Montrer queϕn se prolonge de manièreuniqueen une forme linéaireϕendeF. (d) Montrer que pour toutn≥1,Pn(x)=Pn

k=1ϕek(x)uk définit un projecteur continu (Pn◦Pn=Pn) deF dansVn et quekPnk ≤K₀. [on utilisera à nouveau (?)]

(e) Soitx∈F ety∈Vp(pour un certainp≥1). Montrer que pour toutn≥pon a kx−Pn(x)k ≤(K0+1)kx−yk.

(f ) Montrer que la famille (un)n≥1estbasique.

Partie II. On suppose que la famille (un)n≥1estbasique. On noteAl’ensemble des suites réelles (an)n≥1

telles que la suitePn

k=1akukconverge quandn→ +∞(ou encore la sérieP

k≥1akuk converge). Pour tout élément de A, noté (an) on définit

k(an)kA=sup

N≥1k

N

X

k=1

a_ku_kk.

(a) Monter quek · kA définit une norme surAet que (A,k · kA) est un Banach.

(b) Montrer que si (an)∈AalorsP_∞

n=1anun=limn→+∞Pn

k=1a_ku_k∈F.

(c) Montrer que l’applicationΦdéfinie de AdansF par Φ((an))=

X∞ k=1

a_ku_k est linéaire, continue et bijective.

(d) À l’aide d’un théorème du cours, montrer que la famille (un)_n≥1vérifie lacondition (?).

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