Master Mathématiques et Applications1`ereannée Aix-Marseille Université Année 2013-2014
Analyse Fonctionnelle - Examen du 8 Janvier 2014
Durée : 3h
Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans n’importe quel ordre.
Le barême tiendra compte de la longueur manifeste du sujet.
Exercice 1 (Questions de cours)
1. Enoncer le théorème de Banach-Steinhaus.
2. Soit(X, d)un espace métrique complet etf :X 7→Xune application.
(a) Rappeler ce que signifie la propriété :fest contractante surX.
(b) Démontrer que sif est contractante, elle admet un unique point-fixe dansX.
Exercice 2
Soita= (an)n⊂RNune suite de nombres réels.
1. Montrer que, pour que la sérieP
n≥0|anxn|soit convergente pour tout élémentx∈l∞, il est nécessaire et suffisant quea∈l1.
2. On suppose désormais quea∈l1, et on définit kxkdef=X
n≥0
|anxn|, ∀x∈l∞.
Donner une condition nécessaire et suffisante surapour quek.ksoit une norme surl∞. 3. Sous les conditions précédentes, montrer qu’il existeC >0(dépendant de la suitea) telle que
kxk6Ckxkl∞, ∀x∈l∞. 4. Montrer que les normesk.ketk.kl∞ ne sont pas équivalentes surl∞. 5. Montrer que l’espacel∞muni de la normek.kn’est pas un Banach.
Exercice 3
SoitE =C0([0,1],R)muni de la norme infiniek.k∞etF un sous-espace vectorielfermédeE. On suppose que toutes les fonctionsf éléments deF sont dérivables en tout point de[0,1].
Le but de l’exercice est de montrer queF est de dimension finie.
1. On fixe dans cette question un pointx∈[0,1]. Pour touty∈[0,1]\ {x}, on définit Ty:f ∈F 7→ f(y)−f(x)
y−x ∈R. (a) Montrer que, pour touty6=x,Tyest une forme linéaire continue surF. (b) Montrer que, pour toutf ∈F, la famille(Tyf)y6=xest bornée.
(c) Montrer qu’il existe un nombreCx>0dépendant seulement dextel que
|Tyf|6Cxkfk∞, ∀f ∈F,∀y6=x.
2. On fixe dans cette question un nombreε >0.
(a) Montrer que pour toutx∈[0,1], il existeδx>0tel que
∀y, y0∈[0,1], t.q.|y−x|6δx,|y0−x|6δx, on a |f(y)−f(y0)|6εkfk∞,∀f ∈F.
1
(b) Montrer qu’il existeδ >0, tel que
∀y, y0∈[0,1], t.q.|y−y0|6δ, on a |f(y)−f(y0)|6εkfk∞, ∀f ∈F.
3. Montrer que la boule unité fermée deF est compacte et conclure.
Exercice 4 (Représentation du dual deLp(Ω))
SoitΩun ouvertbornédeRd,1 < p 6 2 etq = p/(p−1)son exposant conjugué, qui vérifie donc2 6 q <+∞. On munitΩde la mesure de Lebesgue (on notera|Ω|le volume deΩ) et on ne considèrera que des fonctions à valeurs réelles. Le but de cet exercice est de démontrer un théorème de représentation pour le dual de l’espaceLp(Ω)qui s’énonce comme suit :
Pour toute forme linéaire continueL∈(Lp(Ω))0, il existe une uniqueg∈Lq(Ω)telle que L(v) =
Z
Ω
gv dx, ∀v∈Lp(Ω), et de plus on a kLk(Lp)0 =kgkLq. (P) 1. En utilisant un résultat du cours, montrer la propriété (P) dans le casp=q= 2.
2. On suppose maintenant quep <2. Démontrer qu’on a l’inclusionL2(Ω)⊂Lp(Ω)et l’inégalité kvkLp6|Ω|2−p2p kvkL2, ∀v∈L2(Ω).
3. Soitv: Ω→Rune fonction mesurable quelconque. Pour toutn≥1, on définit une fonctionTnvpar Tnv(x) = max(−n,min(n, v(x))), ∀x∈Ω.
(a) Montrer les propriétés suivantes :
i. Tnv∈L∞(Ω)⊂L2(Ω), pour toutn≥1.
ii. Tnv(x)etv(x)sont de même signe, pour toutx∈Ωet toutn≥1.
iii. |Tnv(x)|6|v(x)|pour toutx∈Ωet toutn≥1.
iv. limn→∞Tnv(x) =v(x)pour toutx∈Ω.
(b) Montrer que siv ∈Lp(Ω), avecp <2alors(Tnv)nconverge versvdansLp(Ω). En déduire que L2(Ω)est dense dansLp(Ω).
4. On rappelle qu’on a supposé quep <2. On se donne une forme linéaire continueLsurLp(Ω).
(a) Montrer que la restriction deLà l’espaceL2(Ω) est une forme linéaire continue surL2(Ω). En déduire qu’il existeg∈L2(Ω)telle que
L(v) = Z
Ω
gv dx, ∀v∈L2(Ω). (1)
(b) On posevn=Tn(|g|q−2g
. En utilisant le fait que(p−1)(q−1) = 1, montrer que Z
Ω
|vn|p dx6 Z
Ω
gvndx.
(c) En déduire que pour toutn≥1, on akvnkp−1Lp 6kLk(Lp)0.
(d) En utilisant le lemme de Fatou, montrer queg∈Lq(Ω)etkgkLq 6kLk(Lp)0. (e) En déduire que l’égalité (1) est encore valable pour toutv∈Lp(Ω).
(f) Montrer qu’on a en fait l’égalité des normeskgkLq =kLk(Lp)0.
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