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Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l’ordre qu’on voudra.
On peut admettre des résultats des questions précédentes en le signalant.
Les résultats doivent être encadrés ou soulignés. Merci de soigner la rédaction.
LES CALCULATRICES SONT AUTORISÉES.
Il n’est pas nécessaire de tout aborder pour avoir une bonne note, mais je vous demande d’aborder au moins un problème.
Celles et ceux qui sont intéressé(e)s par une classe étoilée peuvent le prouver en abordant les deux problèmes !
Exercice 1 – Formule d’Euler pour ζ(2) 1. Justifier que l’équation 2 sin
t 2
f(t) = t2
2π −t permet de définir une application f de classe C1 de [0;π]dansR: on justifiera soigneusement la question du prolongement et on précisera la valeur def et de sa dérivée en 0.
2. Calculer Z π
0
t2 2π −t
cos(nt)dt pourn∈N.
3. Calculer2 sin t
2 n
X
k=1
cos(kt) pourn∈N∗. 4. En déduire, pourn∈N∗,
n
X
k=1
1 k2 = π2
6 + Z π
0
f(t) sin
(2n+ 1)t 2
dt.
5. En déduire la valeur deζ(2) = lim
n→+∞
n
X
k=1
1 k2. Exercice 2 – Algèbre linéaire
PourP dans le R-espace vectorielR3[X], on poseu(P) =P(X)−P(1−X).
1. Montrer queu est un endomorphisme deR3[X].
2. Écrire la matrice deu dans la base canonique de R3[X].
3. Calculer le rang deu.
4. Déterminer une base du noyau deu et retrouver le résultat précédent.
Exercice 3 – Fonctions de plusieurs variables
Soitf l’applicationR2 dans lui-même définie parf(x, y) = (x+ex, x−y)ethl’application deRdans Rdonnée parh(t) =t+et.
1. Faire l’étudeh et montrer qu’elle est bijective.
2. Montrer quef est bijective et en déduire que f est un homéomorphisme deR2 dans lui-même.
3. Montrer que f est de classe C1 sur R2 et calculer sa matrice jacobienne en tout point (x, y) de R2.
4. On note g la bijection réciproque de f. Montrer que g est de classe C1 sur R2 et calculer sa matrice jacobienne au point (1,0).
5. Déterminer les plans tangents à f en (0,0)et à g en(1,0).
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Problème 1 – Approximations du sinus et du cosinus
1. A tout réelt on associe les suites de fonctions polynomiales(Cn(t))et(Sn(t))définies par C0(t) = 1 S0(t) = 0 et ∀n∈N∗
Cn+1(t) = Cn(t)−tSn(t) Sn+1(t) = tCn(t) +Sn(t).
(a) En introduisant Un(t) = cos(nt) et Vn(t) = sin(nt), montrer que, pour t proche de 0, on peut s’attendre à ce queCn(t) etSn(t) soient des valeurs approchées decos(nt) etsin(nt).
(b) CalculerC3 etS3.
(c) Montrer que, pour toutx dansh 0;π
2 i
, on ax−x3
6 ≤sin(x)≤x−x3 6 + x5
120 ≤x.
(d) Vérifier que, pour toutx dans h
0;π 2 i
, on ax−x3 6 ≤S3
x 3
≤x.
A-t-onS3x 3
≤x−x3 6 + x5
120?
(e) Montrer que, pourtréel, il existe un nombre complexez(t)tel que, pour tout entier natureln, on aitCn(t)+iSn(t) = (z(t))net en déduire que, pourt6= 0, lim
n→+∞ Cn(t)2+Sn(t)2
= +∞.
Qu’en tirer comme conséquence ?
(f) Étudier le comportement de la suite de fonctions, définies sur h
0;π 2 i
parfn(x) =
1 +x2 n2
n
. (g) En déduire, pourx fixé, lim
n→+∞Cn
x n
= cos(x)et lim
n→+∞Sn
x n
= sin(x).
(h) Comparer S6(π/180),S12(π/360)etsin(π/30).
2. On procède maintenant à une approximation grâce à l’équation différentielley+y” = 0.
(a) Soitf une fonction deux fois dérivable sur R. Montrer que, pour tout x réel, on a f(x+h)−2f(x) +f(x−h) =h2f”(x) +oh→0(h2).
(b) En déduire que l’on peut s’attendre à ce que, pourtréel, la suite de fonctions polynomiales (sn(t)) définie par
s0(t) = 0, s1(t) =t , et ∀n∈N∗, sn+1(t)−2sn(t) +sn−1(t) =−t2sn(t) permette de définir une approximation desin(x).
(c) Montrer qu’il existe A etB dans Cvérifiant que, pour tout tréel tel que |t|<2, il existe u(t) dansC, de module 1 et de partie imaginaire strictement positive, tels que
sn(t) =A(u(t))n+B u(t)n
.
On pourra considérer l’espace des suites réelles vérifiantun+1−2un+un1 =−t2un. (d) Pourtréel,|t| ≤√
2, montrer qu’on peut choisir θ(t) un argument deu(t), avec 0≤θ(t)≤ π/2. Exprimer alors, pourxfixé etnassez grand,sn(x/n)en fonction de θ, puis dex etn.
(e) Que penser de cette approximation desin(x)?
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Problème 2 – Approximations linéaires
Dans ce problème, on se place dans des espacesRpeuclidiens canoniques. Une matrice est ainsi identifiée canoniquement à une application linéaire. On note indifféremmentA∗ outAla matrice transposée selon que l’on pense avant tout à la matrice ou à l’endomorphisme adjoint. On rappelle que pour X etY donnés on a(AX|Y) = (X|A∗Y), où(·|·)désigne le produit scalaire canonique. On note|| · || la norme euclidienne associée.
On se donne des observations sous la forme de couples (xi, yi) et on cherche un couple de réels (a, b) de sorte que la droite d’équation y=ax+b passe le près possible des données observées. Le principe du maximum de vraisemblance consiste à minimiser la fonction(a, b)7→
n
X
i=1
|yi−(axi+b)|2.
On poseY =
y1
... yn
etA=
x1 1
... ... xn 1
, et il s’agit donc de minimiser la quantité||Y −AU||2 pour U =
a b
. La droite d’équationy=ax+bainsi obtenue s’appelledroite des moindres carrés de y par rapport à x.
Pour X = (x1, . . . , xn) ∈Rn, on note E(X) = 1
n(x1 +· · ·+xn) la moyenne des coordonnées de X.
Pour Y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, on note XY = (x1y1, . . . , xnyn) ∈ Rn et X2 = XX. Enfin on note var(X) =E(X2)−E(X)2 lavariance deX ainsi quecov(X, Y) =E(XY)−E(X)E(Y)lacovariance deX etY. Dans la suite on supposen≥3, etX etY donnés.
1. Analyse de la projection orthogonale surIm(A).
(a) A quelle conditionA est-elle de rang 2 ? On supposera cette condition vérifiée par la suite.
(b) MontrerRn=Ker(A∗)⊕⊥Im(A) etIm(A∗) =R2.
(c) Montrer, pour X dans Rn, X ∈ Ker(A∗A) ⇔ ||AX||2 = 0 et en déduire Ker(A∗A) = Ker(A).
(d) En déduire queA∗Aest un automorphisme de R2.
(e) Montrer que||Y −AU||2 est minimal lorsque U = (A∗A)−1A∗Y. 2. Droite des moindres carrés de y par rapport àx.
(a) Montrer, à l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, quevar(X) est strictement positive.
(b) Montrer, à l’aide des formules de Cramer, a= cov(X, Y)
var(X) etb=E(Y)−E(X)cov(X, Y) var(X) . (c) Montrer que, siX etY ont même variance, la droite des moindres carrés de x par rapport
à y est symétrique de la droite des moindres carrés de y par rapport à x par rapport à la parallèle à la première bissectrice passant par(E(X), E(Y)).
Que se passe-t-il dans le cas général ?
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3. Droite des moindres carrés pour y et x. On pose A =
1 x1 y1 ... ... ... 1 xn yn
et U =
a b c
, et on
cherche à minimiser||AU||2 parmi les vecteursU tels que b2+c2 = 1.
(a) Interpréter géométriquement la droite d’équationa+bx+cy = 0 ainsi obtenue.
(b) On notev1,v2,v3les trois vecteurs colonnes deA. A quelle condition forment-ils une famille liée ?
(c) On suppose dorénavantv1,v2,v3 indépendants. On complète cette famille libre en une base (vi)1≤i≤ndeRnet on note(wi)1≤i≤nson orthonormalisée par le procédé de Gram-Schmidt.
Enfin note O la matrice de (wi)1≤i≤n dans la base canonique de Rn. Montrer que O est orthogonale.
(d) Soit V la matrice de(vi)1≤i≤n dans la base canonique deRn. Montrer que tOV est trian- gulaire supérieure et que ses termes diagonaux sont tous strictement positifs.
(e) Montrer quetOA =R est une matrice de taille (n,3) telle que ri,i >0 pour 1 ≤i≤ 3 et rij = 0 pour 1≤j < i≤n.
(f) En déduire que||AU||est minimal lorsque ||RU|| est minimal . (g) On poseB =
r22 r23
0 r33
etC =tBB. Montrer queCadmet deux valeurs propres réelles positives.
(h) Caractériser, à l’aide deC,U tel que ||AU||soit minimal.
Question subsidiaire
Sauriez-vous expliquer pourquoisin(11) est presqu’entier (un calcul donnesin(11) =−0.999990. . .) ?
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