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Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l’ordre qu’on vou- dra. On peut admettre des résultats des questions précédentes en le signalant.
Enfin, les résultats doivent être encadrés ou soulignés. Merci de soigner la ré- daction. LES CALCULATRICES NE SONT PAS AUTORISÉES.
Exercice 1 – Systèmes linéaires
1. Déterminer les solutions réelles du système
6x+ 3y+ 2z+ 3t+ 4u= 5 4x+ 2y+ z+ 2t+ 3u= 4 4x+ 2y+ 3z+ 2t+ u= 0 2x+ y+ 7z+ 3t+ 2u= 1.
2. Déterminer les solutions entières du système précédent.
3. Discuter suivant la valeur du paramètreλcomplexe, les solutions (complexes) du système suivant
2x+ 3y+ z+ 2t= 3 4x+ 6y+ 3z+ 4t= 5 6x+ 9y+ 5z+ 6t= 7 8x+ 12y+ 7z+ λt= 9.
Exercice 2 – Matrices
1. Trouver toutes les matricesM d’ordre 3 commutant à la matrice A (i.e. vérifiantAM =M A)
1 0 0 0 1 0 3 1 2
.
2. Trouver une matrice carréeX d’ordre 3 telle que
2 −3 1 4 −5 2 5 −7 3
X
9 7 6 1 1 2 1 1 1
=
2 0 −2 18 12 9 23 15 11
.
3. SoitA une matrice carrées d’ordre n à coefficients complexes et nilpotente, i.e. telle qu’il existe un entier r ≥ 1 tel que Ar = 0, montrer que In−A est inversible et qu’on a (In−A)−1 = In+A+A2+· · ·+Ar−1. En déduire l’inverse de
1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1
.
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Exercice 3 – Applications linéaires
SoitE,F etG trois espaces vectoriels réels, etw dansL(E, G).
1. On se donneu dansL(E, F). Montrer qu’on a :∃v∈ L(F, G)w=v◦u⇔Ker(u)⊂Ker(w). On pourra d’abord considérer le cas où uest surjective.
2. On se donnew dansL(F, G). Montrer qu’on a :∃u∈ L(E, F) w=v◦u⇔Im(w) ⊂Im(v). On pourra d’abord considérer le cas où v est injective.
3. Étudier l’unicité dans les deux questions précédentes.
Problème – Complexifié d’un espace vectoriel réel
Tous les espaces vectoriels considérés sont de dimensions finies, surRou C.
1. Complexification
(a) Soit E un R-espace vectoriel. Montrer que E ×E peut être muni d’une structure de C- espace vectoriel en gardant la même structure de groupe additif, la même multiplication par un scalaire réel et en posanti.(x, y) = (−y, x). On écrit dorénavant z=x+iy au lieu dez= (x, y) etECleC-espace vectorielE×E muni de la structure deC-espace vectoriel précédente. On identifieE au sous-ensembleE× {0} de EC.
(b) Montrer que siHest un sous-espace vectoriel réel deE, alorsHCest un sous-espace vectoriel complexe deEC.
(c) Montrer qu’une application linéaireu∈ L(E, E)définit une unique application linéaire uC deEC dans lui-même vérifiant, pourx ety dansE,uC(x+iy) =u(x) +i.u(y).
(d) On définit les applications partie réelle, partie imaginaire et conjugaison respectivement par R :z 7→ x,I :z7→ y et z7→ z¯=x−iy. Montrer que ce ne sont pas des endomorphismes deEC.
2. SoitΣun sous-espace vectoriel complexe de EC.
(a) Montrer que les images deΣparR etI sont les mêmes. On la note`(Σ). Montrer que c’est un sous-espace vectoriel réel deE.
(b) SoitH un sous-espace vectoriel réel de E, que vaut `(HC)? (c) Démontrer queΣ∩E est un sous-espace vectoriel réel de E.
(d) On pose Σ = {¯z | z ∈ Σ}. Montrer que c’est un sous-espace vectoriel complexe de EC et qu’il est en général distinct deΣ.
(e) On poseF = Σ∩E. Montrer que Σ∩Σ =FC.
(f) Montrer qu’il existe H sous-espace vectoriel réel de E tel que Σ = HC si et seulement si Σ = Σ.
(g) On dit queΣest irréel si et seulement si la dimension réelle de`(Σ)(notéedimR(`(Σ))) est le double de la dimension complexe de Σ (notée dimC(Σ)). Montrer que Σ est irréel si et seulement siΣ∩E={0}.
(h) Montrer qu’en généraldimR(`(Σ)) = 2 dimC(Σ)−dimC(Σ∩Σ).
(i) Montrer queΣest irréel si et seulement si la restriction deRàΣest injective, i.e.Ker(R)∩ Σ ={0}.
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(j) Démontrer qu’un système(z1, . . . , zq)de vecteurs deECest une base d’un sous-espace irréel si et seulement si les2q vecteurs deE,R(z1),. . .,R(zq),I(z1),. . .,I(zq)forment une famille libre (dans l’espace vectoriel réelE).
(k) Établir qu’on obtient tous les espaces irréels de EC ainsi : on prend un sous-espace réel H de dimension paire deE et un endomorphisme bijectif σ deH tel que σ◦σ =−IdH et on poseΣH ={x+iσ(x)|x∈H}, de sorte que ΣH est irréel et`(ΣH) =H.
3. Endomorphismes deEC
(a) Soitϕ un endomorphisme de EC. Montrer qu’il existe un unique couple (u, v) d’endomor- phismes deE tels que ϕ=uC+i.vC.
(b) On noteL0l’ensemble des endomorphismes deECtels que l’image deEsoit un sous-espace vectoriel complexe deEC. Démontrer que les quatre assertions suivantes sont équivalentes :
i. ϕ∈ L0
ii. ϕ(E) = (iϕ)(E) iii. ϕ(E) =ϕ(EC) iv. `(Ker(ϕ)) =E.
(c) Pour u et v dans End(E) tels que ϕ = uC+i.vC appartienne à L0, montrer 2 rgC(ϕ) = dimR(E)−dimR(Ker(f)∩Ker(g)).
(d) On noteLI la partie de L0 dont le noyau est irréel. Démontrer que LI est vide sidimR(E) est impaire.
(e) Pouru etv dansEnd(E) tels queϕ=uC+i.vC appartienne àL1, montrer queKer(f) et Ker(g)sont en somme directe et qu’il existe un endomorphismeσdeEtel queσ◦σ=−IdE, f =g◦σ etg=−f ◦σ.
(f) Soit u et v dans End(E) tels que Ker(f) et Ker(g) soient en somme directe. On suppose qu’il existe un endomorphismeτ deEtel quef =g◦τ etg=−f◦τ. Montrer queuC+i.vC
appartient àLI, queτ est unique et que τ ◦τ =−IdE.
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