Université de Rouen L2 Math/Info Année 2015-2016
Algèbre
Examen du 15 juin 2016, durée 2h L’USAGE DE TOUT DISPOSITIF ÉLECTRONIQUE.
IL EN EST DE MÊME DE TOUT DOCUMENT.
Une rédaction claire et concise sera appréciée. Toute affirmation devra être justifiée.
Questions de cours.
(a) Donner l’énoncé et la démonstration du lemme de Gauss dans l’anneau (Z,+,·).
(b) Démontrer que si α est racine d’ordre k (k ≥2) du polynôme P alors α est racine d’ordrek−1 deP0. Donner un exemple de polynômeP à coefficients réels tel que 0 n’est pas racine deP et tel que 0 est racine double deP0.
Exercice 1. Une suite (un)n∈N est périodique s’il existe T ∈N∗ tel queun+T =un pour tout n dans N. Le plus petit entierT vérifiant la propriété précédente est appelé période de la suite. On définit la suite (Fn)n∈N parF0=F1=1 et pour toutn≥0,Fn+2=Fn+1+Fn.
(a) Calculer (et donner) les valeurs deF0,F1,F2, . . . ,F8etF9. (b) Montrer (par récurrence par exemple) que pour toutn∈N
Fn+8=F7Fn+1+F6Fn. (1) (c) On se place dans (Z/3Z,+,·) et on pose vn = cl(Fn). Donner les valeurs de v0, v1, v2, . . . ,v8 et v9 (comme Z/3Z={cl(0), cl(1), cl(2)} il faut écrire les valeurs attendues parmi cl(0), cl(1), cl(2)). Exprimer, à l’aide de (1),vn+8 en fonction de vn+1 et vn. En déduire que (vn)n∈N est périodique et déterminer sa période.
(d) On se place dans (Z/7Z,+,·) et on pose wn =cl(Fn). Donner les valeurs de w0, w1, w2, . . . ,w8 et w9 (même remarque qu’à la question précédente sachant que Z/7Z= {cl(0), cl(1), . . . , cl(6)}). Exprimer, à l’aide de (1), wn+8 en fonction de wn+1 et wn. En déduire l’expression de wn+16 en fonction de wn+1 et wn et démontrer que la suite (wn)n∈N est périodique.
(e) Soitm∈N∗. On se place dansZ/mZet on poseun=cl(Fn).
-i- Montrer que f : (x,y)7→(y,x+y) est une bijection de (Z/mZ)2dans lui-même.
-ii- Montrer que (un)n∈Nest périodique de périodeT ≤m2−1. [indication : on pourra dans un premier temps établir un lien entreun+2,un+1,un à l’aide de f, puis exprimer un à l’aide de f,u0,u1etn.]
Exercice 2. SoitGun ensemble à 4 éléments, notés {a,b,c,d}. On considère une loi de com- position interne surGdont la table est la suivante
a b c d a a b c d b b a d c c d c b a d c d a b
1
La table donnée est-elle celle d’une loi de groupe ?
Exercice 3. Soientσ1la permutation et t la transposition σ1=
µ1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 8 4 7 3 9 2 5 1
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, t=(1 2).
(a) Décomposerσ1en produit de cycles à supports disjoints et calculer la signature deσ1. (b) Calculer l’ordre deσ1et exprimerσ20171 .
(c) Calculerσ1◦t◦σ−11 .
(d) Soitσune permutation de {1, . . . , 9} telle queσ◦t=t◦σ. On cherche à caractériserσ. -i- Montrer queσ(1)∈{1, 2} et queσ(2)∈{1, 2}.
-ii- Montre queσ est de la formeσ=t◦τouσ=τavecτune permutation dont le support est inclus dans {3, . . . , 9}.
Exercice 4. Soitλetµdeux paramètres réels. Réaliser la division euclidienne du polynôme P=X4+X3+λX2+µX+1 parQ=X2+2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur λetµpour queQ diviseP.
Exercice 5. Décomposer en éléments simples dansC[X] la fraction rationnelle F = X +4
(X2+1)2.
Donner la décomposition en éléments simples deF dansR[X].
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