Pour tout n ∈ N

T. D. n ^o 7

Suites et s´ eries de fonctions.

Exercice 1 : D’apr` es le concours d’inspecteur des impˆ ots, ´ epreuve 2, 2008.

Pour tout n ∈ N

, on consid` ere la fonction s

d´ efinie par :







Si x = 0 s

(0) = n

∀x ∈ i 0, π

2 h

s

(x) = sin

(nx) sin

(x) On consid` ere la suite (I

)

d´ efinie par

I

= Z

0

sin

(nx) sin

(x) dx =

Z

0

s

(x) dx 1. Pour tout n ∈ N

, montrer que s

est continue sur

0,

, puis que s

est minor´ ee sur h

0, π 2n

i . Indication :

On d´ emontrera que pour tout x ∈ h 0, π

2 i

, 2x

π 6 sin(x) 6 x 2. Montrer que lim

n→+∞

I

= +∞.

3. Soit Ψ une fonction continue sur 0,

telle que Ψ(0) = 0.

On pose

u

= 1 I

Z

0

Ψ(x)s

(x) dx

(i) Montrer que pour tout ε >, il existe 0 < η <

tel que sup

t∈[0,η]

|Ψ(t)| <

2 (ii) D´ emontrer que lim

n→+∞

u

= 0.

4. D´ emontrer que si f est une fonction continue sur 0,

, alors

n→+∞

lim 1 I

Z

0

f(x)s

(x) dx = f (0)

Exercice 2 : D’apr` es le concours d’inspecteur des impˆ ots, ´ epreuve 3, 2007.

On consid` ere la fonction num´ erique f de la variable r´ eelle x d´ efinie par : f (x) = 5 − 4

x

On d´ efinit formellement la suite (f

)

des fonctions compos´ ees par : f

= Id

f

= f ◦ f

si n > 1.

A− Etude des fonctions ´ f

, n > 1

1. D´ eterminer l’ensemble de d´ efinition D

de la fonction f

= f , puis l’ensemble de d´ efinition D

de la fonction f

.

2. D´ emontrer que x ∈ D

si et seulement si f

(x) 6= 0 et x ∈ D

. 3. D´ emontrer que pour tout n ∈ N :

R \ [0; 1[⊂ D

Indication : consid´ erer x < 0, puis x > 1.

4. ´ Etudier les variations de f sur ]0; 1[, puis en d´ eduire les variations de f

sur ]0; 1[ pour tout n ∈ N .

5. D´ emontrer que pour tout n ∈ N

il existe un unique x

∈]0; 1[ tel que f

(x

) = 0.

6. D´ emontrer que la suite (x

)

est strictement croissante. En d´ eduire qu’elle converge vers l ∈

5

; 1 .

B− Suite r´ ecurrente Avec les notations de la partie pr´ ec´ edente on pose :

D = R

\ {x

|n ∈ N

} .

On fixe u

∈ D et on consid` ere la suite (u

)

d´ efinie pour tout n ∈ N par : u

= f(u

).

1. Montrer que si u converge alors sa limite appartient ` a {1; 4}.

2. ´ Etudier la suite u lorsque le premier terme est u

= 1, puis lorsque u

= 4.

3. On suppose que u

∈ D \ {1; 4}.

a. D´ emontrer que si u

> 4 alors pour tout n ∈ N , u

> 4.

En d´ eduire que si u

∈ R \ [0; 4] alors pour tout n ∈ N

, u

> 4.

D´ emontrer que si u

∈ R \ [0; 4] alors u est d´ ecroissante.

Conclure.

b. D´ emontrer que si u

∈ R \]1; 4[ alors u est croissante, puis en d´ eduire qu’elle converge vers 4.

c. D´ emontrer que si u

∈ D ∩]0;

[ alors u converge vers 4.

d. D´ emontrer que si u

∈ D ∩]

; 1[ alors il existe k > 1 tel que u

∈ D ∩]0;

[.

e. Conclure.

Exercice 3 : D’apr` es le concours d’inspecteur des impˆ ots, ´ epreuve 3, 2009.

1

partie

On consid` ere les suites t´ eelles (u

)

et (v

)

d´ efinies par : u

= v

= 1

u

= u

+ 1

(n + 1)

et v

= v

+ 1 n(n + 1) · 1. Montrer que l’on a v

= 2 − 1

n , pour tout n ∈ N

. 2. Montrer que l’on a u

6 v

, pour tout n ∈ N

. 3. Montrer que la suite (u

)

est convergente.

2

partie

On consid` ere les fonctions num´ eriques C

et S

de la variable r´ eelle t et de param` etre n (n ∈ N

) d´ efinies sur [0; π] par :

C

(t) =

n

X

k=1

cos kt et S

(t) =

n

X

k=1

sin kt.

1. a. Montrer que l’on a C

(0) = n et S

(0) = 0 pour tout n ∈ N

.

b. On pose K

(t) = C

(t)+ iS

(t). Montrer que pour tout t non nul K

(t) = exp (it) 1 − exp (int)

1 − exp (it) ·

c. D´ eduire de ce qui pr´ ec` ede que si t est non nul alors :

C

(t) =

cos (n + 1)t 2 sin nt

2 sin t

2

et S

(t) =

sin (n + 1)t 2 sin nt

2 sin t

2

·

d. Montrer que les fonctions C

et S

sont continues sur [0; π].

2. On consid` ere la fonction num´ erique g

de la variable r´ eelle t d´ efinie sur [0; π]

par :

g

(t) = 2C

(t) + 1.

Montrer que si t est non nul alors g

(t) =

sin (2n + 1)t 2 sin t 2

· 3. Soit n un entier positif non nul.

Z

t

1

b. En d´ eduire que u

= Z

0

h(t)C

(t)dt o` u h est une fonction que l’on d´ eterminera.

c. D´ eterminer la valeur de l’int´ egrale Z

0

h(t) 2 dt.

d. En d´ eduire que u

− π

6 = 1

2 Z

0

h(t)g

(t)dt.

3

partie

Soit f la fonction num´ erique de la variable r´ eelle x d´ efinie sur [0; π] par :

f(0) = 2 et f (t) =

t − t

2π

sin t

2

si t est non nul.

1. a. Montrer que la fonction f est continue sur [0; π].

b. Montrer que l’on a : ∀t ∈ [0; π], f (t) > 0.

2. On consid` ere u un r´ eel de l’intervalle 0;

. a. Montrer que sin u − u + u

6 > 0.

b. En d´ eduire que 1 − u

6 6 sin u u 6 1.

c. En posant u = t

2 , montrer que 1 6 f (t) 6 48

24 − π

, pour tout r´ eel t de l’intervalle ]0; π].

3. On pose M = 48

24 − π

et on consid` ere λ un r´ eel de l’intervalle ]0; π[.

a. Montrer que

Z

f (t) sin

(2n + 1)t 2

dt

6 λM pour tout entier naturel n.

b. Montrer que |f

(t)| 6 M

pour tout r´ eel t de l’intervalle [λ; π] avec M

= 1 + π

2 sin

λ 2

·

4. On pose ` a pr´ esent I

= Z

0

f (t) sin

(2n + 1)t 2

dt avec n ∈ N et λ ∈]0; π[.

a. Montrer que |I

| 6 2 [M + M

(π − λ)]

2n + 1 ·

b. En d´ eduire que la suite (u

)

converge vers π

6 ·

Exercice 4 : D’apr` es le concours d’Attach´ e de l’INSEE, 2003.

Soit I

(x) = R

dt

cosⁿ(t)

. On note I =

−

;

le domaine de d´ efinition de I

(x).

1. L’int´ egrale I

(x) est-elle bien d´ efinie sur I ? 2. Soit la fonction f (x) = ln

tan

+

(ln d´ esigne le logarithme n´ ep´ erien et tan la fonction tangente). Montrer que f est d´ efinie et d´ erivable sur I.

3. Calculer la d´ eriv´ ee f

(x) de f pour tout x ∈ I . 4. Calculer I

(x), I

(x), I

(x) pour tout x ∈ I.

5. ´ Etablir une relation de r´ ecurrence entre I

(x) et I

(x) pour tout n > 2.

6. En d´ eduire I

(x).

Exercice 5 : D’apr` es un Sujet blanc EN3S, 2009.

a) Soit deux s´ eries num´ eriques P

u

et P

v

` a termes dans R

telles que : (H) ∃n

∈ N , ∀n > n

, u

u

6 v

v

·

Soit k = u

v

·

(i) Montrez que pour tout n > n

, u

6 kv

.

(ii) Quelle implication peut-on alors ´ ecrire entre les propri´ et´ es P

u

converge et P

v

converge ?

b) (i) Donnez le d´ eveloppement en s´ erie enri` ere de la fonction x → √ 1 + x

`

a l’origine sous la forme √

1 + x = P

n>0

a

x

et pr´ ecisez le rayon de convergence.

(ii) Soit α > 0, u

= |a

| et v

= n

.

Calculez un d´ eveloppement limit´ e en

` a l’ordre 1 de

n

−

n

· Par un choix convenable de α, montrez que la s´ erie P

u

converge.

(iii) Montrez que la s´ erie P

a

x

converge uniform´ ement sur [−1; 1].

(iv) Montrez que : ∀x ∈ [−1; 1], √

1 + x = P

n>0

a

x

.

(v) Montrez qu’il existe une suite (P

)

de polynˆ omes telle que (P

)

converge uniform´ ement sur [− √ 2; √

2] vers la fonction f d´ efinie sur [− √ 2; √

2]

par f (t) = |t|.

Exercice 6 : D’apr` es le concours d’Attach´ e de l’INSEE, 2004.

Dans tout le probl` eme, on note C

([0; 1]) l’ensemble des applications continues de [0; 1] dans le corps des r´ eels R .

Premi` ere partie

On d´ efinit sur C

([0; 1]) × C

([0; 1]) l’application D par :

∀(f, g) ∈ C

([0; 1]) × C

([0; 1]), D(f, g) = sup

[0;1]

|f (x) − g(x)|.

1. Justifier l’existence de D.

2. Pour (f, g) ∈ C

([0; 1]) × C

([0; 1]), que signifie D(f, g) = 0 ? 3. Montrer que D est sym´ etrique, c’est-` a-dire que :

∀(f, g) ∈ C

([0; 1]) × C

([0; 1]), D(f, g) = D(g, f ).

4. Montrer que D v´ erifie l’in´ egalit´ e triangulaire :

∀(f, g, h) ∈ C

([0; 1]), D(f, g) 6 D(f, h) + D(h, g).

On a ainsi d´ efini une distance sur l’ensemble des fonction continues sur [0; 1].

5. On d´ efinit les fonctions f et g suivantes, pour x ∈ [0; 1] : f(x) = x

et g(x) = x.

Calculer D(f, g). Tracer les graphes de f et g et repr´ esenter graphiquement D(f, g).

Deuxi` eme partie

1. Montrer que :

∀f, g ∈ C

([0; 1]),

Z

f (t)dt − Z

0

g(t)dt

6 D(f, g).

2. On d´ efinit sur [0; 1] la suite de fonctions de C

([0; 1]) par f

(x) =

(

)

n

, o` u n est un entier naturel non nul. Θ d´ esignant l’application nulle, et f

la d´ eriv´ ee de f

, montrer que :

∀n > 1, D(f

, Θ) = 1

n et D(f

, Θ) = n.

Troisi` eme partie

L’objet de cette partie est d’´ etudier une suite de polynˆ omes P

et sa convergence vers une application f de C

([0; 1]), la convergence ´ etant d´ efinie par : lim

D(f, P

) = 0.

1. On note par f l’application de C

([0; 1]) d´ efinie par : f(x) = 2

2 + x ·

Pour n entier naturel, on d´ efinit le polynˆ ome P

´ el´ ement de C

([0; 1]) par : P

(x) =

n

X

k=0

(−1)

x 2

, pour tout x de [0 ;1].

Etablir que ´ D(P

, f ) = 1

3 · 2

·

2. On prend pour f la restriction ` a [0; 1] de la fonction exponentielle, et on d´ efinit pour tout entier naturel n la suite de polynˆ omes P

de C

([0; 1]) par :

P

(x) =

n

X

k=0

x

k! , pour tout x de [0 ;1]

avec la convention 0! = 1.

a. D´ emontrer que exp (x)−P

(x) = J (n, x) o` u J (n, x) = R

h

i dt.

b. En d´ eduire que D(P

, f ) 6

·

c. ` A partir de quel rang la distance est inf´ erieure ` a 10

?

3. Dans cette question, on prend pour f la restriction de la fonction sinus ` a [0; 1].

La suite P

de polynˆ omes de C

([0; 1]) est d´ efinie par r´ ecurrence de la fa¸con suivante,

Pour tout x de [0; 1] :

P

(x) = x P

(x) = 3P

x

3

− 4 h P

x

3 i

.

a. Donner les formes explicites des polynˆ omes P

(x) et P

(x).

b. On d´ efinit l’application T sur [−1; 1] par : ∀x ∈ [−1; 1], T (x) = 3x − 4x

. Etudier les variations de ´ T . Montrer que pour tous (u, v) ∈ [−1; 1],

|T (u) − T (v)| 6 9|u − v|.

c. ´ Etablir la formule : sin (3a) = 3 sin (a) − 4 sin

(a).

d. Montrer que l’on a, pour tout x ∈ [0; 1], 0 6 x − sin x 6 x

6 . e. D´ emontrer que pour tout n entier naturel non nul, on a :

∀x ∈ [0; 1], P

(x) ∈ [−1; 1]

et

|P

(x) − sin x| 6 x

2 · 3

·

Courbes param´ etr´ ees

Exercice 7 : Inspecteur des impˆ ots, ´ epreuve 2, 2006.

Dans le plan P rapport´ e ` a un rep` ere orthonorm´ e (O, #»

i , #»

j ), on nomme Γ

et Γ

les courbes planes param´ etr´ ees repr´ esentatives des syst` emes de coordonn´ ees suivants :

Γ

:



 

 

x = t 2 + 1

2t y = 2

t − 1 t

Γ

:



 

 

x = t + 1 t y = 1

t

− 2 t ·

1. Montrer que Γ

se d´ eduit ais´ ement de Γ

par une transformation simple du plan que l’on pr´ ecisera.

2. Dans toute la suite, on se limite alors ` a l’´ etude de Γ

et l’on d´ esigne par M (t) le point courant de Γ

de coordonn´ ees x(t) et y(t).

a. Pr´ eciser le domaine de d´ efinition D du point M (t).

b. Montrer que pour t 6= 1

2 et t 6= 1, le point M (t) est un point ordinaire de la courbe Γ

tel que det # »

OM

(t), # » OM

(t)

6= 0.

c. Pr´ eciser la nature des points M

− 1 2

et M (1) ainsi que la valeur de la tangente ` a Γ

en ces points.

d. Rechercher les points de Γ

` a tangente verticale.

e. Montrer que Γ

coupe l’axe des abscisses en un point que l’on pr´ ecisera et qu’elle ne coupe jamais l’axe des ordonn´ ees.

3. On note m(t) la pente de la tangente ` a Γ

au point M (t).

a. ´ Etablir l’expression de m(t).

b. Montrer alors que la quantit´ e d

y

dx

est du signe de x

(t)m

(t) puis ´ etablir l’expression de x

(t)m

(t).

c. En d´ eduire, suivant les valeurs de t, dans quelle direction le courbe Γ

tourne sa concavit´ e.

4. Bˆ atir le tableau des variations des coordonn´ ees x et y du point M (t).

5. Pr´ eciser si la courbe Γ

admet des asymptotes et des branches infinies.

6. Tracer Γ

en faisant apparaˆıtre les ´ el´ ements qui facilitent sa construction

(points particuliers, tangentes particuli` eres, asymptotes,. . . ).