Université de Rouen L2 Math/Info Année 2012-2013
Algèbre
Examen du 15 janvier 2013, durée 2h
L’USAGE DE TOUT DISPOSITIF ÉLECTRONIQUE AUTRE QUE LA MONTRE EST INTERDIT. IL EN EST DE MÊME DE TOUT DOCUMENT.
Une rédaction claire et concise sera appréciée. Toute affirmation devra être justifiée.
Exercice 1. Pour tout entier n≥2, on rappelle que (Sn,◦) désigne le groupe des permutations de {1, . . . ,n} et queAn désigne le sous ensemble deSn des permutations de signature égale à 1.
(a) Montrer que pourn≥3 le groupeSn n’est pas commutatif en donnant deux permutationsσ etτtelles queτ◦σ6=σ◦τ. Sin=2 le groupeSn est-il commutatif ?
On suppose désormais quen≥3. On considère un groupe commutatif (G,∗) dont le neutre est notée et un morphisme de groupe f défini de (Sn,◦) dans (G,∗). Le but est de démontrer queAn⊂ker(f).
(b) Montrer que siτetσsont deux éléments deSn alors f(σ◦τ)=f(τ◦σ).
(c) Soienti, j etk trois éléments distincts de l’ensemble {1, . . . ,n} et soientt1,t2les deux transpo- sitions définies part1=(i,j) ett2=(i,k). Calculer
t1◦t2◦t1−1◦t2−1
(d) Déduire des questions (b) et (c) que sicest un cycle de longueur 3 alors f(c)=e.
(e) Montrer que les transpositions {(1,i) ; 2≤i ≤n} engendrentSn. Pour cela on pourra regarder la permutation (1,j)◦(1,i)◦(1,j) et utiliser un théorème du cours.
(f ) Montrer que les cycles de longueur 3 engendrentAn. (g) Montrer queAn⊂ker(f).
Exercice 2. Soitσla permutation deS10définie par σ=
µ1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 7 9 1 8 3 2 10 6 5
¶
(a) Décomposerσen produit de cycles à supports disjoints.
(b) Calculer la signature deσ. (c) Calculerσ2013.
Exercice 3. Soient (A,+,×) un anneau commutatif etI etJ deux idéaux deA.
(a) Montrer queI+J={a+b;a∈I,b∈J} est un idéal deA.
(b) Montrer que siAest un anneau principal alors l’ensembleS={a·b; a∈I,b∈J} est un idéal.
Exercice 4. Décomposer la fraction rationnelleF en éléments simples dansR[X], où F=X5+X2−3X+2
X4−1 .
Exercice 5. Montrer que le sous-ensembleH={a+bp
7 ;a,b∈Q} est un sous anneau de (R,+,×). On pourra utiliser sans le démontrer le fait quep
7 n’est pas rationnel.
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