Université Bordeaux Algèbre 3 – Licence 2
Mathématiques Année 2015–2016
Devoir Maison no 2
À rendre avant les vacances de Pâques
Exercice 1 : lemme de Frobenius
SoientGun groupe fini etHun sous-groupe deGd’indicem ≥2. On poseX =G/H−{H}.
1. Soith∈H. Construire une bijectionf(h) :X →X qui àxH associe hxH pour tout x∈G−H.
2. Vérifier que f :H → S(X) est un morphisme de groupes.
3. Montrer que tout diviseur premier de |Imf| est≤m−1.
4. Supposons que tout diviseur premier de|H|est≥m. Prouver queH est normal dans G. Indication : on pourra d’abord établir que le morphisme f est trivial.
Exercice 2
Soit G un groupe. On note Aut(G) l’ensemble des automorphismes de G. Soit x ∈ G, on note ϕx l’application de G dans Gdéfinie par ϕx(g) = xgx−1.
1. Montrer que Aut(G) muni de la composition des applications est un groupe.
2. Montrer que, pour tout x ∈ G, ϕx ∈ Aut(G). On dit que ϕx est un automorphisme intérieur deG. Montrer que l’ensemble Int(G) des automorphismes intérieurs de G est un sous-groupe normal de Aut(G).
3. Montrer que l’application
ϕ:G→Aut(G) x7→ϕx
est un morphisme de groupes de noyau le centre Z(G) deG et d’image Int(G).
4. Soit H etK deux groupes, et soit f : K → Aut(H) un morphisme. Montrer que le produit cartésien H×K est un groupe pour la loi définie par :
(h, k)(h0, k0) = (hf(k)(h0), kk0).
On note ce groupeHofK et on l’appelleproduit semi-direct deH par K suivant f.
5. Montrer que Hof K contient un sous-groupe isomorphe à K, un sous-groupe iso- morphe à H, et que ce dernier est normal.
6. Réciproquement, montrer que si Gest un groupe contenant deux sous-groupes H et K tels que H soit normal dans G,H∩K ={e}etG={hk |h ∈H, k∈K} alorsG est isomorphe à un produit semi-direct deH par K.
7. Montrer que le groupe diédral D2n d’ordre 2n est isomorphe au produit semi-direct de deux groupes cycliques d’ordres respectifsn et2.
