Les nombres de Catalan forment une suite d’entiers naturels utilisée dans divers problèmes de dénom- brement, impliquant souvent des objets définis de façon récursive, comme nous allons le voir dans ce problème.
Ils sont nommés ainsi en l’honneur du mathématicien belge Eugène Charles Catalan (1814-1894).
Partie No1 : Généralités sur les nombres de Catalan 1. (a) Montrer que, pour tout entier naturel n,Cn+1= 2(2n+1)n+2 Cn.
(b) Donner les valeurs de Cn pour06n67.
2. Prouver les relations qui suivent en précisant leur domaine de validité.
(a)
Cn= 1 n+ 1
2n n
= 1 n
2n n+ 1
= 2n
n
− 2n
n+ 1
. (b)
Cn= 2 n+ 1
2n−1 n
= 2
n−1
2n−1 n+ 1
=
2n−1 n
−
2n−1 n+ 1
.
(c) Montrer que (Cn) est une suite à valeurs dans N, strictement croissante à partir de n= 1.
En déduire lim
n→+∞Cn.
3. Dans cette question, on trouve l’ordre de grandeur de la suite(Cn).
(a) Montrer que pour tout k>1, on a : 4
k−1 k
3/2
6 Ck Ck−1 64
k k+ 1
3/2
.
(b) En déduire, pour tout n>1,
4n−1 n√
n 6Cn634n−1 n√
n.
Partie No2 : Caractérisation des nombres de Catalan par dénombrement
Dans cet partie, on considère des chemins joignant des points de N×N formés de déplacements successifs.
Les seuls déplacements autorisés à partir d’un point(n, m)∈N×Nsont :
— Le passage de (n, m) à(n+ 1, m), soit vers la droite.
— Le passage de (n, m) à(n, m+ 1), soit vers le haut.
On note ∆ = {(n, m) ∈ N2 / 0 6 m6n} l’ensemble des points de N2 qui sont sous ou sur la diagonaley=x.
Voici un exemple de chemin d’origine(0,0)et d’extrémité(6,5)qui est inclus dans∆.
x y
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(6,5)
(0,0)
(4,2) diagonale
Voici un exemple de chemin d’origine(0,0)et d’extrémité(6,5)qui n’est pas inclus dans ∆.
x y
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(6,5)
(0,0)
(4,2) diagonale
Pour tous entiers naturels a et b, en moyennant une translation de vecteur (a, b), il est clair qu’il y a autant de chemins d’origine (0,0) et d’extrémité (n, m) qu’il y a de chemins d’origine (a, b) et d’extrémité(a+n, b+m). On sera libre d’utiliser ce résultat dans tout le devoir.
Pour tout(n, m)∈∆, on note∆n,m l’ensemble des chemins d’origine(0,0), d’extrémité(n, m) et qui sont inclus dans ∆(donc qui ne traversent pas la diagonale) etδn,n le cardinal de ∆n,n.
On note∆n= ∆n,n, c’est-à-dire l’ensemble des chemins de∆qui vont de (0,0)à(n, n) etδn=δn,n. Le premier chemin donné en exemple appartient à∆6,5 tandis que ce n’est pas le cas pour le second.
1. (a) Donner la valeur deδn,0 pour n∈N.
(b) Justifier que δn=δn,n−1 si n>1 etδn,m =δn−1,m+δn,m−1 si 16m < n.
(c) En déduire δn,1 pourn>1etδn,2 pour n>2.
(d) Former le tableau triangulaire des valeurs de δn,m pour06m6n67.
Que remarque-t-on pour les valeurs diagonalesδ pour06n67?
toire.
(a) Soient metn deux entiers naturels.
Montrer que le nombre de chemins de A(a, b) à B(a+n, b+m) vaut n+mm .
(b) On dit qu’un chemin P de (0,0)à(n, n) est excessif s’il franchit la diagonale y=x.
Soit En le nombre de chemins excessifs de(0,0)à(n, n). Prouver que δn= 2nn
−En. (c) Soit P un chemin excessif de (0,0)à(n, n).
Soit A(k, k+ 1) le premier point deP situé strictement au-dessus de la diagonale.
Au chemin P on associe alors le cheminP0 défini de la manière suivante :
— On conserve les 2k+ 1premiers mouvements, qui amènent de (0,0)à A(k, k+ 1).
— On inverse chacun des mouvements suivants de P (tout déplacement vers le haut est transformé en déplacement vers la droite, et vice-versa.)
Montrer que le chemin P0 mène du point(0,0)au point(n−1, n+ 1).
(d) Montrer que la transformationP 7→ P0évoquée ci-dessus réalise une bijection de l’ensemble des chemins excessifs qui vont de(0,0)à(n, n)vers l’ensemble de tous les chemins qui vont de (0,0)à(n−1, n+ 1).
(e) En déduire queCnest bien le nombre des chemins inclus dans ∆qui vont de(0,0)à(n, n).
Partie No3 : Caractérisation des nombres de Catalan par relation de récurrence On va maintenant établir une relation de récurrence vérifiée par la suite (Cn).
SoitP un chemin inclus dans∆, d’origineA(0,0)et d’extrémitéB(n, n) avec n >1.
1. (a) On suppose que P ne rencontre la diagonaley=x qu’en A etB.
Montrer que le nombre de façons différentes de former le chemin P vautCn−1. (b) On suppose que P rencontre y=x en au moins un point autre queA etB.
Soit kl’abscisse minimum (comprise entre1 etn−1) de ces points d’intersection.
Montrer qu’il y a Ck−1Cn−k façons de formerP. En déduire que, pour toutn∈N, Cn+1=
n
X
k=0
CkCn−k.
2. Montrer que si une suite(un)vérifie
u0 = 1
∀n∈N, un+1 =
n
X
k=0
ukun−k
alors les deux suites(un) et(Cn)sont égales.
Partie No4 : Autres interprétations des nombres de Catalan Dans les questions suivantes, montrer que le nombre évoqué est toujours égal à Cn. On notera S1,S2,S3 etc. les ensembles énumérés aux questions 1., 2., 3. etc.
On notera égalementS0 l’ensemble des chemins inclus dans∆qui vont de (0,0)à (n, n).
1. Le nombre de suites (x1, x2,· · ·, x2n) de 2n éléments de {±1} telles que
2n
X
k=1
xk= 0 et, pour tout16m62n,
m
X
k=1
xk >0.
2. Le nombre de suites croissantes (y1,· · · , yn) à valeurs dansN vérifiant, pour tout 16k6n, yk6k.
3. Le nombre de suites strictement croissantes (z1,· · · , zn) à valeurs dansN vérifiant, pour tout 16k6n,zk<2k.
4. Le nombre de suites (d1,· · · , dn) à valeurs dans {0,1} vérifiant, pour tout 1 6 k 6 n−1, dk+1 6dk+ 1.
5. Le nombre de façons d’écrire n paires de parenthèses pour que chaque parenthèse fermante corresponde à une parenthèse ouvrante.
Par exemple, sin= 3, il y a cinq possibilités : ((())),(()()),(())(),()(()) et()()().
6.
Le nombre de chaînes de montagnes formées de n montées et de n descentes, sachant que la chaîne ne doit jamais descendre à une altitude inférieure à celle du point initial.
Voici un exemple avecn= 6.
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7.
Dans cette question, on considère des arbres bi- naires enracinés.
— A la base de l’arbre se trouve un nœud racine.
— Chaque nœud, s’il n’est pas une feuille, possède un rameau gauche et un rameau droit.
On demande de prouver que le nombre d’arbres binaires enracinés à n+ 1feuilles vaut Cn.
Voici la liste des arbres binaires enracinés à 4 feuilles.
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8. SoitE un ensemble muni d’un produit.
Une expression commeabc, oùa, b, c∈E, est donc dépourvue de sens tant qu’on ne choisit pas entre(ab)c eta(bc).
Ainsi les parenthésages de abc sont (ab)c et a(bc), et, ceux de abcd sont ((ab)c)d, (ab)(cd), (a(bc))d,a((bc)d) eta(b(cd)).
On demande de montrer que le nombre de parenthésages den+ 1éléments deE vaut Cn.
9.
2n convives sont assis autour d’une table ronde. De combien de manières ces2npersonnes peuvent-elles échanger simulta- némentnpoignées de mains sans que deux poignées différentes se croisent au-dessus de la table ?
Voici un exemple avec n= 6.
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10. Un mot de Dyck d’ordre n est une chaîne de caractères formée de n lettres X et de nlettres Y, telle qu’aucun préfixe (mot obtenu en supprimant les dernières lettres à partir d’un rang quelconque) ne contienne plus de Y que de X. Autrement dit, lorsque nous parcourons un mot de Dyck de gauche à droite, le nombre de X rencontrés est toujours supérieur ou égal au nombre deY.
Par exemple, les mots de Dyck de la longueur6 sont :XXXY Y Y,XY XXY Y,XY XY XY,
