TS Correction travail maison 1 2011-2012
EXERCICE 1 :
1. (a) Pour toutn∈N,vn+1=un+1−un⇔vn+1 = 3un−2un−1−un (compte-tenu de la définition de la suite (un))
⇔vn+1= 2un−2un−1⇔vn+1= 2(un−un−1)⇔ vn+1= 2vn.
Cette dernière relation prouve que la suite (vn) est géométrique de raison 2 et de premier terme v1=u1−u0= 5.
(b) Ainsi, Pour toutn∈N∗,vn=v1×qn−1⇔ vn= 5×2n−1.
2. Pour toutn∈N,wn+1=un+2−2un+1⇔wn+1= 3un+1−2un−2un+1⇔wn+1=un+1−2un⇔ wn+1=wn. On en conclut que la suite (wn) est constante.
3. (a) D’après les questions précédentes :
un+1−un = 5×2n (L1) un+1−2un=w0= 5 (L2) ⇔
un= 5×2n−5 (L1−L2) un+1−2un=w0= 5 (L2) Ainsi un= 5(2n−1), pour toutn∈N.
(b) Comme 2∈/]−1; 1[, lim
n→∞2n= +∞. Grâce aux opérations sur les limites, lim
n→∞un = +∞
EXERCICE 2 :
(un) est définie paru0= 1 et pour tout entier natureln,un+1=√ un+ 5.
On note P(n) :un63 . Montrons par récurrence queP(n) est vraie∀n∈N. 1. Initialisation: Pourn= 0.
u0= 1 et 163 doncP(0) est vraie.
2. Hérédité : Supposons que la propriété P(n) est vraie pour un rang n c’est à dire que un 6 3. Montrons que P(n+ 1) est vraie.
un63⇔un+ 565 + 3⇔un+ 568⇔√
un+ 56√
8 (car la fonctionx7−→√
xest croissante sur [0; +∞[).
⇔un+16√
8 doncun+163. Ainsi P(n+ 1) est vraie.
3. Conclusion: D’après le principe du raisonnement par récurrence, la propriété P(n) est vraie pour tout n∈N c’est à dire : ∀n∈N, un63.
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