A = (X + 1) 2n − 1 et on pose

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

On considère

le polynôme à coecients réels

A = (X + 1) ²ⁿ − 1 et on pose

P n =

n

Y

k=1

sin kπ

2n Q n =

2n−1

Y

k=1

sin kπ 2n

1. Montrer que l'on peut écrire A = XB où B est un polynôme dont on précisera le degré, le coecient dominant et le terme constant noté b 0 .

2. Déterminer les racines de A dans C.

3. Montrer que

P n =

2n−1

Y

k=n+1

sin kπ 2n En déduire que P n = √

Q n .

4. Calculer de deux façons le produit des racines de B . En déduire Q _n puis P _n . 5. Déterminer la décomposition de F en éléments simples avec

F = 1 A

1

d'après Mines d'Albi 2000

Corrigé

1. Comme A(0) = 0 ˜ , le polynôme A est divisible par X . Il existe donc un polynôme B tel que A = XB . Ce polynôme est de degré 2n − 1 et de coecient dominant 1. On peut obtenir le terme de degré 0 à partir de la dérivée.

A ⁰ = 2n(X + 1) ²ⁿ⁻¹ = XB ⁰ + B, A ˜ ⁰ (0) = ˜ B(0) = 2n

2. Les racines de A sont les nombres complexes u − 1 où u décrit l'ensemble U 2n des racines 2n ièmes de l'unité.

3. Lorsque k décrit 1, · · · , n − 1 , le nombre 2n − k décrit n + 1, · · · , 2n − 1 et (2n − k)π

2n = π − kπ 2n donc

sin (2n − k)π

2n = sin kπ 2n On en déduit

P _n =

2n−1

Y

k=n+1

sin kπ 2n puis Q n = P _n ² car, pour k = n , sin ^kπ _2n = 1 .

Comme tous les ^kπ _2n sont dans [0, ^π ₂ ] , les sin sont strictement positifs et P n = p

Q n

4. Les racines non nulles de A sont les racines de B . Le produit de ces 2n − 1 racines est (−1) ²ⁿ⁻¹ b 0

b _2n−1 = −2n D'autre part, c'est aussi

E = Y

u∈

−{1}

(u − 1)

Chaque u de U 2n − {1} est de la forme e ^iθ avec θ = ^kπ _n et k ∈ {1, · · · , 2n − 1} . On en déduit

E = (2i) ²ⁿ⁻¹ e ⁱ

n

Y

k=1

sin kπ n e ⁱ

= e ^i(2n−1)

= (i) ²ⁿ⁻¹

E = 2 ²ⁿ⁻¹ (−1) ²ⁿ⁻¹ Q n = −2 ²ⁿ⁻¹ Q n

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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MPSI B 29 juin 2019

Finalement

Q n = n 2 ⁻²ⁿ⁺² , P n = √

n 2 ⁻ⁿ⁺¹ 5. La décomposition de F en éléments simples est de la forme

X

u∈

λ(u) X − u + 1 avec

λ(u) = 1

A ˜ ⁰ (u − 1) = 1

2nu ²ⁿ⁻¹ = u 2n

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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